Regresion Y Correlacion

§ 4
4.0 REGRESION Y CORRELACION
En la actualidad la industria ni las empresas sufren por falta ó carencia de información, muy por el contrario, cada vez es mayor el volumen de datos que se recolectan acerca de los procesos, así, se tiene archivos históricos de consumos de materia prima, materiales y repuestos, horas hombre, energía, índices de medición de la calidad del producto, etc.
Losdatos así recolectados pueden guardarse sin tener un fin específico, ó si en su inicio tuvieron alguno, este ya no es actual.
El sentido del análisis no es indicar si deben o no recolectarse tales datos, ó como debería hacerse tal recolección. El sentido del análisis es encontrar en esta masa de información las relaciones existentes entre estas variables.
Si entendemos que existe relación entrevariables, nos interesa saber que efecto causan en los resultados del proceso los cambios en una ó en un conjunto de variables, por ello, nos planteamos las siguientes preguntas:
 ¿Cómo medir el grado de relación entre variables?
 ¿Cómo representar de forma aproximada y simple, la relación entre variables, usando funciones matemáticas?
La Estadística nos ayuda con los conceptos de Regresión yCorrelación.
La Regresión trata de establecer y evaluar modelos funcionales que, basados en el comportamiento de los valores observados de las variables, permitan aproximar el comportamiento general de ellas mediante un modelo funcional de funciones matemáticas simples.
La Correlación es la medida de dependencia lineal entre variables
La metodología aplicable es en principio laboriosa por querequiere de un número grande de operaciones simples, que depende de numero de datos en análisis, sin embargo, la tecnología actual de computadoras, permite con mucha facilidad realizar estos cálculos, dejando más tiempo a la interpretación y análisis de resultados.
Es de vital importancia entender la metodología propuesta y las restricciones aplicables al modelo para poder llegar a conclusionescorrectas.
La metodología aplicable en el caso de los modelos de regresión es la de Mínimos Cuadrados que se describe a continuación para el caso de un modelo lineal simple, esto es para una recta de regresión

4.1 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE: EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS
Dados n puntos no colineales en el plano X,Y . hallar una recta, tal que la suma de los cuadrados de las distancias segúnel eje Y de estos puntos a la recta sea un mínimo.

Sea la recta buscada

donde b0 es el intercepto y b1 la pendiente
Denominamos a la ordenada de la recta para
La distancia del punto a la recta, según el eje Y es

Elevando al cuadrado y sumando por i, obtenemos

Buscamos los valores de b0 y b1 que minimizan la función G, en consecuencia, aquellos que cumplen conDerivando,

Igualando a 0, simplificando y aplicando las sumatorias se tiene el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
...........(I)
............(II)
Resolviendo estas 2 ecuaciones tenemos:

Propiedades de la recta de mínimos cuadrados
I. De la ecuación (i) al dividir entre n

a la recta
II. La propiedad I implica:
III. Por la propiedad II, la ecuación de la recta deregresión puede escribirse:

IV. Fórmulas equivalentes de b1 son


V. Por la propiedad III

Entonces, si para cada xi de cada uno de los n puntos del plano .usados para calcular la recta de regresión, nosotros calculamos y luego los valores residuales , se cumple que la suma de esos valores residuales es igual a 0 esta propiedad se cumple siempre que el término independiente seadiferente de 0.
VI. Se cumple que

Demostración: analizando ....... por la propiedad III
.......por la 2ª fórmula de la propiedad IV
como por la propiedad III

reemplazando en la primera ecuación

ó


Modelos Transformables al Modelo Lineal
1. Sea el modelo
Tomando logaritmos:
Hemos reducido el modelo a
Donde , , ,
2. Sea ahora el modelo
Tomando logaritmos:...