Regresion y Correlacion

Regresión y correlación simple
Capitulo X ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION

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El análisis de regresión consiste en emplear métodos que permitan determinar la mejor relación funcional entre dos o más variables concomitantes (o relacionadas), y el análisis de correlación, el grado de asociación de las mismas. Es decir; no sólo se busca una función matemática que exprese de que manera serealcionan, sino también con que presición se puede predecir el valor de una de ellas si se conoce los valores de las variables asociadas. ANALISIS DE REGRESION Una relacion funcional matemáticamente hablando, está dada por: Y = f(x1,...,xn; θ1,...,θm) (1) donde: Y : Variable respuesta (o dependiente) xi : La i-ésima variable independiente (i=1,...,n) θj : El j-ésimo parámetro en la función(j=1,...m) f : La función Para elegir una relación funcional particular como la representativa de la población bajo investigación, usualmente se procede: 1) Una consideración analítica del fenómeno que nos ocupa, y 2) Un examen de diagramas de dispersión. Una vez decidido el tipo de función matemática que mejor se ajusta (o representa nuestro concepto de la relación exacta que existe entre lasvariables) se presenta el problema de elegir un expresión particular de esta familia de funciones; es decir, se ha postulado una cierta función como término del verdadero estado en la población y ahora es necesario estimar los parámetros de esta función (ajuste de curvas). Como los valores de los parámetros no se pueden determinar sin errores por que los valores observados de la variable dependiente noconcuerdan con los valores esperados, entonces la ecuación (1) replanteada, estadísticamente, sería: Y = f(x1,...xn;θ1,...,θm) + ε (2) donde ε respresenta el error cometido en el intento de observar la característica en estudio, en la cual muchos factores contribuyen al valor que asume ε. REGRESION LINEAL SIMPLE Cuando la relación funcional entre las variables dependiente (Y) e independiente (X) esuna línea recta, se tiene una regresión lineal simple, dada por la ecuación Y = β o + β 1X + ε donde: βo : El valor de la ordenada donde la línea de regresión F. de Mendiburu / Apuntes de clase - uso interno. Grupo G / Martes 2-4, Miercoles 2-3 pm

Regresión y correlación simple
se intersecta al eje Y.

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β1 : El coeficiente de regresión poblacional (pendiente de la línea recta)
ε : Elerror. Supocisiones de la regresión lineal 1. 2. 3. 4. 5. 6. Los valores de la variable independiente X son "fijos". La variable X se mide sin error (se desprecia el error de medición en X) Existen subpoblaciones de valores Y para cada X que están normalmente distribuidos. Las variancias de las subpoblaciones de Y son todas iguales. Todas las medias de las subpoblaciones de Y están sobre la mismarecta. Los valores de Y están nomalmente distribuidos y son estadísticamente independientes.

Las suposiciones del 3 al 6 equivalen a decir que los errores son aleatorios, que se distribuyen normalmente con media cero y variancia σ². Estimación de parámetros La función de regresión lineal simple es expresado como: Y = ß o + ß 1X + ε (3) la estimación de parámetros consiste en determinar losparámetros ßo y ß1 a partir de los datos muestrales observados; es decir, deben hallarse valores como bo y b1 de la muestra, que represente a ßo y ß1, respectivamente. De la ecuación (3), para un xi determinado, se tiene el correspondiente Yi, y el valor del error εi sería (Yi-ßo-ß1Xi) Empleando el método de los mínimos cuadrados, es decir minimizando la suma de cuadrados de los errores, se determinanlos valores de bo y b1, así:

Q =

∑ εi

2

=

∑ (y i − β 0 − β 1 x i )
0 1 i

2

∂Q = 2∑ ∂β
0

(y − β − β x )(−1) = 0
i

(4)

∂Q = 2∑ ∂β
1

(y − β − β x )(− x ) = 0
i 0 1 i i

(5) Al sistema formado por las ecuaciones (4) y (5) se les denomina ecuaciones normales. Resolviendo las ecuaciones normales, se tiene:

b0 = y − b1 x

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