Regresion Y Correlacion

Regresión y correlación. | SEPTIEMBRE2012
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REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
La recta de regresión es la que mejor se ajusta a la nube de puntos.
La recta de regresión pasa por el punto llamado centro de gravedad.
Recta de regresión de Y sobre X
La recta de regresión de Y sobre X se utiliza para estimar los valores de la Y a partir de los de la X.
La pendiente de la recta es el cociente entrela covarianza y la varianza de la variable X.

Recta de regresión de X sobre Y
La recta de regresión de X sobre Y se utiliza para estimar los valores de la X a partir de los de la Y.
La pendiente de la recta es el cociente entre la covarianza y la varianza de la variable Y.

Si la correlación es nula, r = 0, las rectas de regresión son perpendiculares entre sí, y sus ecuaciones son:
y =
x=

Ejemplo

Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:

Matemáticas | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 10 | 10 |
Física | 1 | 3 | 2 | 4 | 4 | 4 | 6 | 4 | 6 | 7 | 9 | 10 |
Hallar las rectas de regresión y representarlas.
xi | yi | xi ·yi | xi2 | yi2 |
2 | 1 | 2 | 4 | 1 |
3 | 3 | 9 | 9 | 9 |
4 | 2 | 8 | 16 | 4 |
4 | 4 | 16 | 16 |16 |
5 | 4 | 20 | 25 | 16 |
6 | 4 | 24 | 36 | 16 |
6 | 6 | 36 | 36 | 36 |
7 | 4 | 28 | 49 | 16 |
7 | 6 | 42 | 49 | 36 |
8 | 7 | 56 | 64 | 49 |
10 | 9 | 90 | 100 | 81 |
10 | 10 | 100 | 100 | 100 |
72 | 60 | 431 | 504 | 380 |

1º Hallamos las medias aritméticas.

2º Calculamos la covarianza.

3º Calculamos las varianzas.

4ºRecta de regresión de Y sobre X.

4ºRecta deregresión de X sobre Y.

(Anonimo, http://www.vitutor.com/estadistica/bi/recta_regresion.html, 2012)
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
Es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables.
El coeficiente de correlación lineal se expresa mediante la letra r.

Propiedades del coeficiente de correlación
1. El coeficiente de correlación no varía alhacerlo la escala de medición.
Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el coeficiente de correlación no varía.
2. El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza.
Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.
Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.
Si la covarianza es nula, no existe correlación.
3. El coeficientede correlación lineal es un número real comprendido entre −1 y 1.
−1 ≤ r ≤ 1
4. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a −1 la correlación es fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a −1.
5. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 la correlación es fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a 1.6. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 0, la correlación es débil.
7. Si r = 1 ó −1, los puntos de la nube están sobre la recta creciente o decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional.
Ejemplos Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:
Matemáticas | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 10 | 10 |
Física| 1 | 3 | 2 | 4 | 4 | 4 | 6 | 4 | 6 | 7 | 9 | 10 |
Hallar el coeficiente de correlación de la distribución e interpretarlo.
xi | ya | xi ·yi | xi2 | yi2 |
2 | 1 | 2 | 4 | 1 |
3 | 3 | 9 | 9 | 9 |
4 | 2 | 8 | 16 | 4 |
4 | 4 | 16 | 16 | 16 |
5 | 4 | 20 | 25 | 16 |
6 | 4 | 24 | 36 | 16 |
6 | 6 | 36 | 36 | 36 |
7 | 4 | 28 | 49 | 16 |
7 | 6 | 42 | 49 | 36 |
8 | 7 | 56 | 64 | 49|
10 | 9 | 90 | 100 | 81 |
10 | 10 | 100 | 100 | 100 |
72 | 60 | 431 | 504 | 380 |
1º Hallamos las medias aritméticas.
2º Calculamos la covarianza.

3º Calculamos las desviaciones típicas.

4º Aplicamos la fórmula del coeficiente de correlación lineal.

Al ser el coeficiente de correlación positivo, la correlación es directa. Como coeficiente de correlación está muy próximo a 1 la...