Regresion

REGRESION Y CORRELACION
Nube de puntos.

Para estudiar y medir la relación entre dos variables, el primer paso es recoger los datos que muestren los correspondientes valores de las variables consideradas.
Por ejemplo, si disponemos de los datos de la altura y del peso de 100 individuos, lo primero sería representar en un gráfico cartesiano los 100 puntos (x,y) donde x e y serían la altura yel peso respectivo de cada individuo.
El conjunto de puntos que así se obtiene se suele denominar diagrama de dispersión o mas sencillamente nube de puntos.
Recta de ajuste.

Con el diagrama de dispersión o nube de puntos, es posible frecuentemente representar una curva que se aproxime a los datos.
Tal curva se llama curva de aproximación.
En la mayor parte de las nubes de puntos obtenidas apartir de casos reales es difícil imaginarse cuál sería la mejor curva de aproximación y, generalmente, hay que optar por una determinada (usando algunos criterios específicos) que se suele denominar curva de ajuste.
Nosotros vamos a usar como criterio el de la simplicidad y dado que la curva mas sencilla es la recta, vamos a optar por buscar una recta de ajuste que se ajuste adecuadamente anuestra nube de puntos.
Desde luego, la forma mas sencilla de obtener una recta de ajuste es dibujando una recta encima de la nube de puntos, tratando de que dicha recta se ajuste lo mejor posible a la nube de puntos.
Recta de regresión por mínimos cuadrados.

Es fácilmente comprensible que los matemáticos hayan intentado encontrar un procedimiento común para seleccionar la misma recta de ajuste,de modo que todo el mundo esté de acuerdo y no haya que atenerse a opiniones subjetivas.
La recta de ajuste seleccionada por los matemáticos es la llamada Recta de regresión por mínimos cuadrados y que se obtiene seleccionando de entre todas las rectas de ajuste posibles, aquélla que hace mínimo la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta
Ecuación de la rectade regresión por mínimos cuadrados.

A continuación vamos a indicar cuál es la ecuación de la recta de regresión por mínimos cuadrados, sin entrar en las demostraciones matemáticas exactas.
Para calcular la ecuación de la recta de regresión por mínimos cuadrados se hace lo siguiente, que explicamos paso a paso, indicando también las fórmulas exactas.
• Se calcula la media aritmética( [pic] ) y la desviación típica ( [pic] )de los datos de la primera variable. En nuestro caso, se debe calcular la media aritmética y la desviación típica de las coordenadas "x" de los puntos de la nube de puntos.
• Se calcula la media aritmética de los datos de la segunda variable( [pic] ). En nuestro caso, se debe calcular la media aritmética de las coordenadas "y" de los puntos de la nube depuntos.
• Se calcula la llamada covarianza entre las las dos variables( [pic] ). En nuestro caso, se debe calcular la covarianza entre las coordenadas "x" e "y" de los puntos de la nube de puntos.
Las fórmulas exactas para lo anterior son las que siguen.
Denotamos a los doce puntos de la nube de puntos de la siguiente forma:
(x[pic] , y[pic]) , (x[pic] , y[pic]) , ... ,(x[pic] , Y[pic] )Entonces, se tiene:
[pic]   = [pic]
[pic] =[pic]
[pic] =[pic][pic]
 
[pic] =[pic] +[pic] +  . . .  +[pic]
Hecho todo lo anterior, se obtiene la ecuación de la recta de regresión por mínimos cuadrados de la forma siguiente:
y - [pic] = m (x - [pic])
donde la pendiente m es igual a:
[pic]
Es decir que la recta de regresión por mínimos cuadrados es la recta que pasa por el punto
([pic],[pic]) yque tiene por pendiente a:[pic]
Y si aplicamos las fórmulas anteriores a nuestra nube de puntos (y redondeando para usar sólo tres decimales), resulta la recta siguiente, que es la la recta de regresión por mínimos cuadrados de nuestra nube de puntos:
y = 15,283 + 0,711x
Coeficiente de correlación lineal.

A continuación vamos a hablar de la medida usual de correlación lineal entre dos...