Rehresion lineal

Matemáticas Aplicadas

1.3.

Regresión lineal

UNIDAD I. ESTADÍSTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS
1.3. REGRESIÓN LINEAL Los modelos de regresión buscan ajustar los datos de dos variables mediante una ecuación matemática, una es la variable independiente y la otra la variable dependiente. Variable independiente, X. Su valor se utiliza para predecir o determinar el valor de la variabledependiente. Un ejemplo de variable independiente es el tiempo. Variable dependiente, Y. Su valor se obtiene en función del valor de la variable independiente; por ejemplo si se desea graficar las ventas realizadas en distintos meses del año, la variable independiente será el tiempo y la dependiente las ventas realizadas. Relaciones determinísticas Cuando hay un único valor de la variable Y que estadeterminado por un único valor de X.

Un ejemplo de lo anterior, es la relación de la temperatura de grados Celsius contra la relación de grados Fahrenheit mostrada a continuación:

Como se puede mostrar la línea recta Y = a + bX es una línea recta que predice con exactitud los valores de Y para un valor dado de X.

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

1

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1.3.Regresión lineal

Relaciones probabilísticas (Modelo Probabilístico). En los modelos probabilísticos no existen valores exactos de un valor de Y para cada valor de X. A continuación se muestra la relación de una empresa que ha invertido gastos en publicidad contra las ventas obtenidas (unidades por mes).

Ajuste de la mejor recta con mínimos cuadrados
ˆ El método genera la recta Y = a + bX requierecalcular los valores de “a” y “b” tal como se muestra en las siguientes fórmulas:

∑ (x
a = Y −bX
b=
i =1 n

n

i

− x )( yi − y )
i

∑ (x
i =1

− x)

2

Como puede notarse primero debemos calcular el valor de “b” para poder calcular el valor de “a”. Los valores (xi − x )( yi − y ) representan la multiplicación de la diferencia de cada dato “i” con su media, posteriormente serealiza la suma de dichas multiplicaciones, desde i=1 hasta el último dato “n”; con eso se obtiene la cantidad Los valores de

∑ (x − x )( y
i i =1

n

i

− y).

∑ (x − x )
i i =1

n

2

se obtienen elevando al cuadrado la

diferencia de cada dato xi con su media y posteriormente sumar todos esos valores obtenidos. El valor de Y se refiere al promedio o media de los valores deY.
n

∑Y
y= En el caso de la figura anterior se está ajustando la mejor línea recta que minimice el error respecto a las mediciones de los datos ˆ recolectados, con la forma Y x = a + bX . Dicha recta se conoce como RECTA DE REGRESIÓN. En este tema aprenderemos a calcular los valores de la recta de regresión a partir del método de mínimos cuadrados.
i =1

i

n

De la misma manera X serefiere al promedio de los valores de X.
n

∑X
x=
i =1

i

n

“n” se refiere a la cantidad total de pares de datos (X,Y).

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

2

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1.3.

Regresión lineal

Coeficiente de correlación lineal, “r”. Este coeficiente es una medida numérica sobre la relación lineal entre las dos variables, su valor se encuentra entre -1 y +1. Alelevar al cuadrado dicho coeficiente, sus valores se encontrarán entre cero y uno positivo [0,+1]. Entre mas cercano se encuentre dicho coeficiente a +1, la regresión lineal realizada se ajusta mejor a los datos.

Realice el siguiente ejemplo usando el método de mínimos cuadrados. Se realiza un estudio de mercado de un nuevo producto, de acuerdo a las encuestas realizadas se obtienen lossiguientes datos sobre la curva de la demanda según el precio de venta.
Demanda Xi 160 147 141 139 136 135 129 125 120 115 110 Precio Yi $50 $52 $54 $56 $58 $60 $62 $64 $66 $68 $70

∑ (x
r=
i =1

n

i

− x )( y i − y )
2

∑ (x
i =1

n

i

− x)

∑ (y
i =1

n

i

− y)

2

NOTA IMPORTANTE: EXCEL solo ofrece el valor de r2. El método de cómo calcular esto manualmente...