Relaciones algebra

3.4 Relaciones.

3.4.1 Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B.
Si R ⊂ A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A.
0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 ⊂ A x B y A x B ⊂ A x B.

Si (x,y) ∈ R se escribe x R y y selee "x está en relación con y".

Ejemplo 1:
Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.
R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.
R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.
R3 = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.
R4 = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x + y ≤ 7}
     = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.
R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.
R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A.
R8 = {(x, y) / x ∈ A , y ∈ B, x − y = 0} = 0.

3.4.2 Dominio de una Relación.
Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Porlo tanto:

D(R) = { x / (∃ y) (x, y) ∈ R}

En consecuencia,

x ∈ D(R) ⇔ (∃ y)((x, y) ∈ R).
x ∉ D(R) ⇔ (∀ y)((x, y) ∉ R).

3.4.3 Rango de una Relación.
Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por γ(R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

γ (R) = { y / (∃ x) (x, y) ∈ R}
En consecuencia,y ∈ γ (R) ⇔ (∃ x)((x, y) ∈ R).
y ∉ γ (R) ⇔ (∀ x)((x, y) ∉ R).

Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene:

D(R1) = {3, 1, 5} γ (R1) = {2, 8, 4}
D(R2) = {3} γ (R2) = {8}
D(R3) = {3, 5} γ (R3) = {2, 4}
D(R4) = {3, 1, 5} γ (R4) = {2, 4, 6}
D(R5) = {3, 1} γ (R5) = {5, 3}
D(R6) = {2, 6} γ (R6) = {3, 1}.

Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x ∈ R∧y ∈ R∧y < x}.
El siguiente gráfico es unrepresentación cartesiana de S. La recta y = x no hace parte de S.
[pic]

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:
"x es menor que y"

Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.
              D(R) = {1, 2}, γ (R) = { 2, 3}.

[pic]

3.4.4 Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A en B sí y sólo sí D(R) ⊂ A y γ (R) ⊂ B.

3.4.5 Relacióninversa. Definición. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y) ∈ R} se denomina relación inversa y se denota R−1. En consecuencia,
• (y, x) ∈ R−1 ⇔ (x, y) ∈ R.
• (y, x) ∉ R−1 ⇔ (x, y) ∉ R.
• Si R es una relación de A en B, entonces R−1 es una relación de B en A.

3.4.6 Relación Idéntica.

Definición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x ∈ A ∧ y =x} se denomina relación idéntica en A y se designa ΙA:
En consecuencia:
(x, y) ∈ ΙA ⇔ x ∈ A ∧ y = x.
(x, y) ∉ ΙA ⇔ x ∉ A ∨ y ≠ x.

Ejemplo 7.

ΙR es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos los pares ordenados de números reales que tienen ordenada y abscisa iguales. Su gráfica es la recta bisectriz del primero al tercer cuadrante.
[pic]

3.4.7 Relación reflexivaen un conjunto.

3.4.7.1 Definición. R es una relación reflexiva en un conjunto A sí y sólo sí R es una relación en A y todo elemento de A está relacionado con sigo mismo. Es decir R es reflexiva en A si y sólo sí,
R ⊂ A x A ∧ (∀ x ∈ A) ((x, x) ∈ R).
R no es reflexiva en A si y sólo si,
R ⊄ A x B ∨ (∃ x ∈ A) ((x, x) ∉ R).

Ejemplo 8.

Sea A = {1, 3, 5}.
R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5,1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.
R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.
Ejemplo 9.
ΙA es reflexiva en A cualquiera sea A ≠ 0.
Ejemplo 10.
A2 es reflexiva en A cualquiera sea A ≠ 0.
3.4.7.2 Teorema. R es reflexiva en A sí y sólo sí ΙA ⊂ R.

3.4.8 Relación simétrica en un conjunto.
3.4.8.1 Definición. R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es...