Relaciones multiplicativas

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Las relaciones multiplicativas

El significado de un concepto se construye adecuadamente cuando se conocen los contextos donde adquiere sentido.

Los problemas de multiplicación y división –según Vergnaud- se pueden clasificar en tres grandes tipos:
Tipo I: Problemas de isomorfismo de medidas.
Tipo II: Problemas de producto de medidas.
Tipo III: Problemas con un espacio único de medidas.Tipo I: Problemas de isomorfismo de medidas o de razón.
Consideremos los siguientes ejemplos:
1. Disponemos de seis bolsas de caramelos y en cada una de ellas hay siete caramelos, ¿cuántos caramelos tenemos?
2. Una bolsa de 6 kilos de naranjas cuesta $1200, ¿cuánto costarán 8 kilos de naranjas?
3. Compré 4 botellas de leche por $3000, ¿cuánto cuesta cada botella?
4. Dispongo de$750 para comprar lápices. Cada uno cuesta $125. ¿cuántos puedo comprar?

En los problemas indicados aparecen escrituras numéricas correspondientes a medidas de dos magnitudes distintas: bolsas y caramelos, peso de naranjas y dinero, botellas de leche y dinero, etc.
Cada problema plantea una relación de proporcionalidad entre dos magnitudes.
Número de Bolsas | Número de caramelos | | Kilosde Naranjas | Precio |
6 | ? | | 6 | 12 |
1 | 7 | | 8 | ? |
| | | | |
Botellas de leche | Precio | | Número de lápices | Precio |
1 | ? | | 1 | 125 |
4 | 3000 | | ? | 750 |

En los problemas aditivos vistos anteriormente, estábamos en presencia de relaciones ternarias; es decir, dos números se componen para obtener un tercero. A diferencia de lo visto, los problemasmultiplicativos corresponden a una relación cuaternaria; es decir, intervienen cuatro números, los cuales permiten darle significado a la situación.

Los problemas más simples son aquellos en los que uno de los datos hace referencia a una unidad del primer campo de medidas: el ejemplo 1 nos presenta un problema elemental de multiplicación, y en los ejemplos 3 y 4 clásicos problemas de división.Una consecuencia decisiva de este tipo de problemas es el distinto papel que desempeñan los números que se multiplicaran.

Número de Bolsas | Número de caramelos |
6 | ? |
1 | 7 |

Procedimiento escalar
Partimos con una cantidad de caramelos (7) a la que aplicaremos el operador “ × 6”, obteniendo otra cantidad de caramelos (7 × 6). El operador necesariamente debe ser un escalar ya queestablece una relación entre cantidades de la misma magnitud.
Este procedimiento es el utilizado en la presentación como una suma reiterada. Basta con sumar 7 (los caramelos de una bolsa) tantas veces como bolsas tenga.
7 caramelos × 6 = 7 caramelos + 7 caramelos + 7 caramelos + 7 caramelos + 7 caramelos + 7 caramelos

Procedimiento funcional
La multiplicación 6 × 7 indica
6 bolsas × 7caramelos/bolsa = 42 caramelos

Pasamos de una medida (bolsas) a otra (caramelos). Es decir aplicamos procedimiento funcional que establece relación entre las magnitudes del problema.
Establece una razón entre el número de bolsas y el número de caramelos × 7
El operador en este caso no es un escalar, está dimensionado. El operador es
× 7 caramelos/bolsa
Naturalmente los dos procedimientos sonequivalentes, pero no son iguales y ponen de manifiesto, entre otras cosas, las posibles dificultades asimilación de la conmutatividad de la multiplicación, ya que no es evidente que el resultado de 7 × 6 y 6 × 7 sea el mismo en la resolución de un problema, ya que los procesos para obtenerlos son incluso matemáticamente diferentes.
Esta dualidad de los procedimientos se observa claramentecuando estudiamos los problemas de división asociados a éste problema multiplicativo.

Caso 1 | | Caso 2 |
Número de Bolsas | Número de caramelos | | Número de Bolsas | Número de caramelos |
1 | 7 | | 1 | ? |
? | 42 | | 6 | 42 |
| | | | |
En el primer caso la división busca la cantidad de unidades de una de las magnitudes. Dicha relación ejemplifica, entre otros, el siguiente...
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