Relaciones y funciones

Matemáticas para computadora

45

Capitulo II.
Relaciones

Contenido.

2.1 2.2

2.3 2.4 2.5 2.6

Introducción. Propiedades de las relaciones. 2.2.1 Sobre un conjunto. 2.2.2 Reflexivas. 2.2.3 Simétricas y transitivas. Cerradura. Relaciones de equivalencia. Ordenes parciales. Diagramas de Hasse.

46 48 48 49 50 52 53 55 55

Objetivo educacional: Conocerá y aplicará el conocimientode los elementos del conjunto y la relación común entre ellos.

Matemáticas para computadora

46

2.1

Introducción.

Dado el conjunto A = {1,2,3,4,5} y la función f = {número _ par} , se tiene el R = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)} del conjunto: A * A = {(1,1), (1,2), subconjunto (1,3), (1,4), / 1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2),(4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)} donde A se define como el conjunto original, f como la función de la relación, R como la relación dada entre los elementos del conjunto A mediante la función f y A * A como el producto cartesiano del conjunto original. Entonces, una relación se definirá como un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos, dado por una función que señalala existencia de un vínculo entre los elementos de los conjuntos, tal que R ⊂ A * A . El producto cartesiano5 de dos conjuntos A y B , es el conjunto de pares ordenados (a, b) , tales que a pertenece a A y b pertenece a B . Formalmente, se definirá como:
A * B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Donde A y B pueden ser el mismo conjunto, como es el caso del ejemplo presentado en la definición delconcepto de relación. El producto cartesiano de dos conjuntos, puede ser representado gráficamente mediante un diagrama cartesiano o un diagrama de flechas. Ejemplo: Dados los conjuntos A = {a, b, c} y B = {2,4,6} y la función f = {vocal _ par} encontrar, el producto cartesiano A * B , la relación R dada por f y mostrar los diagramas cartesiano y de flechas para ambos. Primero el producto cartesiano:
A* B = {(a,2}, (a,4), (a,6), (b,2), (b,4), (b,6), (c,2), (c,4), (c,6)}

5

[GAR93]

Matemáticas para computadora

47

Figura 2.1 Diagrama de flechas de A*B

Figura 2.2 Diagrama cartesiano de A*B

El diagrama de flechas del producto cartesiano, se representa mediante dos conjuntos con sus elementos, quedando del lado izquierdo el primero de los conjuntos (Dominio) y en el derecho elsegundo (Alcance), uniendo con una flecha direccionada cada uno de los elementos del dominio, con todos los del alcance. En el diagrama cartesiano, los elementos del dominio se colocan en el eje de las X´s y los del alcance en el eje de las Y´s, colocando un punto en la intersección, de cada uno de los elementos del dominio con los del alcance. Ahora la relación R dada por la función f = {vocal _par} , será un subconjunto del producto cartesiano, que comprenderá los pares ordenados que contengan las vocales del dominio, con los números pares del alcance, quedando la relación y sus diagramas como sigue:
R = {(a,2), (a,4), (a,6)}

Figura 2.3 Diagrama de flechas de

R

Figura 2.4 Diagrama cartesiano de

R

El diagrama de flechas de la relación R , se representa igual que elproducto cartesiano, pero tan solo se unirán con una flecha direccionada los elementos del dominio que cumplan con la especificación de la función f , con los del alcance, que cumplan también con la especificación de f . En el diagrama cartesiano, los elementos del dominio y del alcance se colocan igual que en el diagrama del producto cartesiano, pero solo se colocan puntos en las intersecciones quecumplan con la especificación de f . Como podrá observarse en el ejemplo, la relación R cumple con la especificación de ser subconjunto del producto cartesiano ( R ⊂ A * B ) , tanto en la representación

Matemáticas para computadora

48

de conjuntos como en los diagramas, ya que los diagramas de R están contenidos en los diagramas de A * B .

2.2

Propiedades de las relaciones.

Cuando...