relaciones y funciones

Colegio San Agustín
Departamento de Matemática
Prof: Hugo Maulén B

GUIA DE RELACIONES Y FUNCIONES
Relaciones:

Ejemplo 2

Sean los conjuntos A y B no vacíos. Se define la
operación producto cartesiano de los conjuntos A y B y
que se denota por A x B al conjunto de pares
ordenados.

Sea M : A  B

A x B   a, b  / a  A y b  B

Hallar:

Una relación R de un conjunto A enun conjunto B es
un subconjunto del conjunto A x B.

una relación definida por

M   3,2  ,  0,1 ,  3,1 , 1,1 ,  2,4 

a) A
b) B
c) Graficar en un diagrama sagital
Solución:

Observaciones:



Una relación es un conjunto de pares ordenados.
Una relación R de A en B se denota R : A  B



Sea R : A  B una relación y

 a, b   R

1) a se denomina preimagen.2) b se denomina imagen de a según la relación
R. Se denota por b =R(a).
3) Sea R : A  B una relación. Se denomina.

A  3,0,1,2
B  2,1,4

Dominio de una relación al conjunto de todas
las preimagenes.

Dom R  a  A /  b  B   a, b   R  A
Rango o recorrido de una relación al conjunto
de todas las imágenes.

Ejemplo 3

Re c R  b  B /  a  A   a, b   R  BSea R :

Sean los conjuntos A  7,1,2 y B  6,4 ,
entonces:

A x B   7,6 ,  7,4  , 1,6  , 1,4  ,  2,6  ,  2,4 

una relación definida por:

 x  1 si x  0

R( x)  3
si x  0

 x  1 si x  0

Una relación se puede graficar usando un
sistema cartesiano o un diagrama sagital.

Ejemplo 1



Hallar:

R(2)
b) R(0)
c) R(3)
a)

Solución:
Dominiode la relación

Dom R  1,2,7
Recorrido de la relación

Re c R  4,6

R(2)  2  1  1
R(0)  3
R(3)  3  1  2

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Función:

c) Determinar f(1) y f(3)

F : A  B , esta relación es
Dada una relación
función si y sólo si cada elemento de A tiene una
imagen única en B.
También se puede denotar: x  y f ( x)

f (1)  3
f (3)  7
d) El diagrama sagital

En general, a la variable x se le llama independiente y a
la variable y, dependiente.

Ejemplo:
Sea g ( x)  2 x  25 . ¿Cuál es el valor de g (1) ?
Ejemplo 2:
Solución:

g (1)  2  1  25  27

Sea f :



y f (n)  5  n , calcular:

f (1) 

Dominio y recorrido de una función
si f : A  B

es una función con y  f( x) , donde

y  B , se define el dominio de
x A
e
f ( Dom( f )) o conjunto de las preimágenes x como el
conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente x perteneciente al conjunto A. Mientras
que el recorrido de la función f (Re c( f ))
corresponde al subconjunto de las imágenes y  B .

Ejemplo 1:
Dada la función

f  1,3 ,  2,5 ,  3,7  ,  4,5 .Determinar:
a) Dominio de f

Dom f  1,2,3,4
b) Recorrido de f

Re c f  3,5,7

f (1)  5  1  6

Ejemplo 3:
Sean

f ( x)  2 x  1

y

g ( x)  x  2 .

Calcular:

f
f

o g   x   2  g ( x)  1  2   x  2   1
o g   x   2x  4  1  2x  3

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Ejercicios

A  2,3,4

1) Sea

y

B 4,6. se

establece una relación R entre A y B tal que

a A y

b  B , a R b si b es múltiplo

de a.
¿Cuál de los siguientes conjuntos corresponde
a la relación R?
a)
b)
c)
d)
e)

2,4; 3,4; 3,6; 2,6
2,4; 3,6; 4,4; 4,6
2,4; 2,6; 3,6; 4,4
2,4; 3,4; 4,6; 4,8
2,4; 3,6; 4,4; 4,8

a)
b)
c)
d)
e)

 12
5
3
4
8

5) Sif ( x)  x  3 y

g f  2 vale:

f (u)  3x  u , entonces f (3)  f (0)

2) Si

f ( x)  2 x y g (u)  2u , entonces
f (2)  f (3)  g (5) vale.

4) Si

a)
b)
c)
d)
e)

 18
5
3
12
18

vale.
6) Si
a)
b)
c)
d)
e)

3u
6x
3
0
3x  3

3) Determinar

el valor
f ( x)  3x  5 valga 6.

a)
b)
c)
d)
e)

 11
3
6
5
1
3
5
3
11
3

g (...