Relaciones Y Funciones

¿Es correcto concluir que “ Jorge va a ir al fútbol” ?. Fundamente. b) Dado el siguiente razonamiento: ƒ Si estudio leyes, entonces ganaré mucho dinero. ƒ Si estudio arqueología viajaré mucho. ƒ Si gano mucho dinero o viajo mucho no me decepciono. Por lo tanto, si estoy decepcionado no estudiaré leyes ni estudiaré arqueología. ¿Es lógico lo anterior? c) “Si mis cálculos son correctos y pago lacuenta de electricidad, me quedaré sin dinero. Si no pago la cuenta de electricidad, me cortarán la corriente. Por lo tanto, si no me he quedado sin dinero y no me han cortado la corriente, entonces mis cálculos son incorrectos”. ¿Es lógico este razonamiento? 12.- Simplifique: a) ∼pŸ (q ⇔ p) b) ∼ ( p ∧∼q ) ⇔ ∼q c)( ∼p ⇔q )∨ ∼q d) pŸ (q ⇔ ∼ p ∨ q ) e) ∼ ( p ∧ q ) ⇔ ∼p ∨ ∼q f) ( p ∧∼ p)∨ ∼q h) ∼ ( pŸq ) ⇔ (∼ p v q ) h) [ pŸ ( qŸ r ) ] ⇔[ ( p ∧q ) Ÿ r ] 13.- Demuestre, usando propiedades, que las siguientes proposiciones son tautologías: a) (( p ⇔ ∼q) ∧ ∼( p ∧ ∼q)) ⇔ (∼p ∧ q ) b) ( p ∧ q ) ⇔ [ ( p v q) ∧ ( p ∧ q)] c) ( p Ÿ ∼q ) ⇔ ∼ ( p ∧q ) d) [ ( p v q) Ÿ r ] ⇔ [ ( pŸ r ) ∧ (∼r Ÿ ∼q )] e) [pŸ (∼qŸ r )] ⇔ [( pŸq) v ( pŸ r)] f) ( pŸ q ) Ÿ [ ( p v r ) Ÿ ( q v r ) ] g) (∼q Ÿ ∼p ) ⇔ ( q v ∼p ) h){( pŸ q)Ÿ [ pŸ (∼q ∧p)]}⇔ ∼ ( p ∧ q ) i) [( p v q) ∧ p] ⇔ p j) ∼ ( p Ÿ q ) Ÿ[ ( p ∧ ∼ q ) v (∼ p ∧ q)] l) ( p ⇔ ∼ q ) ⇔ (∼ p ⇔ q ) k) [ p v q ) ∧ p ] ⇔ p m) { ( p Ÿ q ) ∧ [ ∼ ( p ∧ q ) Ÿ p ] } ⇔ p ∧ q 14.- Se define el conectivo * por ( p * q) ⇔ [ ( p ⇔ q ) ∧ ∼ ( p∧ q ) ] i) Simplificar al máximo la expresión ( p * q) * r ii) Probar que: i) p * q ⇔ ∼ ( p v q) 15.- Se define el conectivo ↓ por: p↓q ⇔ (∼p ∧ ∼q ). Demuestre la equivalencia siguiente: ( [ (p↓ q ) ↓ ( p↓ q ) ] ∧ r ) ⇔ ∼ [ ( p ∧ r ) ↓ ( q ∧ r ) ] 16.- Determine un subconjunto en IR de modo que: a) ( x +5 > 8 ) Ÿ ( x2 -1 > 0 ) sea verdadera. b) ( -3x < 2 ) Ÿ ( x2 < 0 ) sea falsa. c) [ ( -x + 4 ) > 0 ] Ÿ[ (2x – 7 ) < 0 ] sea verdadera. 17.-Sea {1, 2, 3, 4} el conjunto universo. Determinar el valor de verdad de cada uno de lossiguientes enunciados, justificando claramente su respuesta: a) ∀ x , x + 2 < 6 b) ∀x , x2 –7 ≤ 4 c) ∃x , x + 5 < 4 d) ∃x , 2x2 + x =11 Negar con palabras los enunciados anteriores. 18.- Sea {1, 2, 3} el conjunto universo. Determinar el valor de verdad de cada enunciado, justificando cada caso. a) ∀x, ∀y , x2 + 2y < 12 b) ∀x ∃y , x2 + 2y < 12 d) ∃x ∃y, x2 + 2y < 12 c) ∃x ∀y, x2 + 2y < 12 Negar conpalabras los enunciados anteriores. 19.- Dar un contra ejemplo para cada enunciado falso. Considere como universo el conjunto { 3, 5, 7,9 } a) ∀x, x + 3 ≥ 7 b) ∀x, x es primo c) ∀x, x es impar d) ∀ x, x = x 20.- Negar los siguientes enunciados. a) ∀x; ∃y; ∀z; p ( x, y,z) b) ∀x; ∃y; ( p ( x, y ) Ÿ q (y)) c) ∃x; ∀y; ( p ( x ) ∨ ∼q ( y )) d) ∃x; ∃y; ( p ( x ) ∧ q ( y ))
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21.- Determine el valor deverdad de las siguientes proposiciones, para A = IN, y también para A = Q. a) ∀ n ∈ A : [ ( n + 1 ) / n ] > 1 b) ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ A : x y = xy c) ∀ z ∈ A, (z + 2) 2 = z + 2
22.- Determine el valor de verdad de cada proposición: a) ∃ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR 2x + y = 5 ∧ x – 3y = 18 b) ∃ x∈ IR, ∀ y ∈ IR 2x + y = 5 c) ∀ x∈ IR, ∃ y ∈ IR 2x + y = 5 d) ∀ x∈ IR, ∀ y ∈ IR x + 2 > y +1 e) ∀ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR x · y=0f) ∀ x ∈ IR, ∀ y ∈ IR x = 2y g) ∀ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR x· y=1 23 .- Determine el valor de verdad; fundamente a) ∀ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR: ( x + y = 3) Ÿ ( x = 2y ) b) ∃ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR: ( x + y = 5 )∧ ( x – y = 8 ) c) ∀ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR: y ⋅ x + 1 =1 d) ∀ x∈ IR, ∃ y ∈IR: y = x2
24.- Considerando N como universo escriba en símbolo cada una de las siguientes expresiones. Todo número multiplicado por ceroes cero. Todo número es menor o igual que si mismo. Hay un número tal que su cuadrado es igual al número. 25.- Escriba usando símbolos matemáticos: "Para cada uno de los elementos de un conjunto A, existe un elemento en el conjunto B, de modo que el primer elemento excede en 6 al triple del otro elemento". 26.- Describa cada conjunto en palabras y luego usando símbolos matemáticos: a) { 4, 8,...