Relaciones Y Funciones

Relaciones
De_nición 1.2.1. Una relación R de A en B es cualquier subconjunto de
A £ B. Si (x; y) 2 R entonces se dice que _x está relacionado con y_ y se
escribe xRy o R(x; y).
La notación in_ja xRy es muy común en matemática, por ejemplo para
decir que 3 y 5 están vinculados por la relación _menor que_ se escribe 3 < 5.
La notación pre_ja R(x; y) a veces se usa sin paréntesis, comoRxy.
Si A = B entonces en lugar de _relación de A en A_ simplemente se dice
_relación en A_.
El conjunto de todas las relaciones de A en B es el conjunto }(A £ B).
Ejemplo 1.2.2. Sea F = fAna, Berta, Carlos, Diana, Ernestog una familia
en la cual Ana es la madre de Berta, Berta es la madre de Carlos y Diana,
y Diana es la madre de Ernesto. Entonces
M = f(Ana, Berta), (Berta, Carlos),(Berta,Diana), (Diana,Ernesto)g
es una relación de F en F que corresponde al concepto intuitivo de la relación
_es madre de_.
Ejemplo 1.2.3. Dos ejemplos triviales de relaciones de A en B son la relación
vacía ?, en la cual no hay ningún par de elementos relacionados, y la relación
total A£B en la cual cualquier elemento de A está relacionado con cualquier
elemento de B.
Ejemplo 1.2.4. Sea A unconjunto cualquiera, B = }(A) y R la relación de
A en B de_nida por xRy si y sólo si x 2 y. Es claro que R no es otra cosa
que la relación de pertenencia entre elementos y subconjuntos de A.
De_nición 1.2.5. Si R es una relación de A en B y X ½ A entonces R(X)
es el conjunto de_nido por
R(X) = fy 2 B : (x; y) 2 R para algún x 2 Ag:
Análogamente si Y ½ B entonces R¡1(Y ) se de_ne como
R¡1(Y ) =fx 2 A : (x; y) 2 R para algún y 2 Bg:
A R¡1(B) se le llama el dominio y a R(A) el rango de R.
En otras palabras, R(X) es el conjunto de los elementos de B que est
án relacionados con algún elemento de X y R¡1(Y ) es el conjunto de los
elementos de A que están relacionados con algún elemento de Y .
Una relación R de A en B se puede representar grá_camente marcando
en un diagrama loselementos de A y B y trazando, para cada par (a; b) 2 R,
una _echa desde a hasta b.
Ejemplo 1.2.6. Sean A = fa; b; c; d; eg y B = fu; v;w; xg. La Figura 1.3
muestra la representación grá_ca de R = f(a; u); (b; u); (b;w); (d; x)g.

Figura 1.3: Diagrama de una relación
Las relaciones pueden representarse también mediante matrices. Para
ello, si A = fa1; a2; : : : ; amg y B = fb1; b2; : : : ; bng, seconstruye una matriz
(es decir, un arreglo rectangular) que en la intersección de la _la i con la
columna j tiene un 1 si (ai; bj) 2 R y un 0 en caso contrario.
Ejemplo 1.2.7. Si A = fa1; a2; a3; a4; a5g, B = fb1; b2; b3; b4g y R = f(a1; b1),
(a2; b1), (a2; b3), (a4; b4), (a5; b3)g, la matriz MR correspondiente a R es:

Propiedades de las relaciones
Las propiedades más comunes de unarelación de un conjunto en sí mismo
se resumen en la siguiente de_nición.
De_nición 1.2.8. Una relación R de un conjunto A en sí mismo es:
re_exiva si xRx para todo x 2 A.
irre_exiva si para ningún x 2 A se cumple xRx.
simétrica si cada vez que xRy entonces también y Rx.
asimétrica si xRy y y Rx nunca se cumplen simultáneamente.
antisimétrica si xRy y y Rx implican x = y.
transitiva si cada vezque xRy y y Rz entonces también xRz.
Ejemplo 1.2.9. En el conjunto N de los números naturales la relación _<_
(_es menor que_) es irre_exiva, asimétrica y transitiva. La relación _=_ (_es
igual a_) es re_exiva, simétrica y transitiva. La relación _¸_ (_es mayor o
igual que_) es re_exiva, transitiva y antisimétrica.
1.2.4. Operaciones con relaciones
De_nición 1.2.21. Si R es una relación deA en B y S es una relación de
B en C entonces la composición de R y S es la relación S ± R de A en C
de_nida por
S ± R = f(x; z) 2 A £ C : (x; y) 2 R y (y; z) 2 S para algún y 2 B:g
Esta de_nición algo complicada signi_ca sencillamente que para que un
par ordenado (x; z) pertenezca a S ± R debe existir algún elemento y en B
que _haga de puente_ entre x y z, es decir que cumpla las dos...