Relaciones Y Funciones



Relaciones y Funciones

Vasquez Ayala, Rosita - pilar_rosita92@hotmail.com

1. Introducción
2. Relaciones y funciones
3. Aplicaciones de las funciones reales
4. Bibliografía


INTRODUCCIÓN
El estudio del tema de funciones es básico para lograr comprender muchos otros temas que se irán viendo más adelante en el curso de matemática, además es importante porque se le puede dar muchosusos en la “vida diaria” ya que generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía,de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.


RELACIONES Y FUNCIONES
Para empezar a hablar de lo que son las relaciones y funciones es necesario empezar a hablar sobre el Par Ordenado (PO), y ¿por qué la importancia de de saber la definición de para ordenado? Laimportancia del PO se desprende de la simplicidad (facilidad, claridad, comodidad) con que a partir de el se puede estructurar una red de definiciones con los principales elementos de la matemática clásica.

La fecunda utilización del PO se puede observar en la lista siguiente, que obvia todo comentario:

1.- Producto Cartesiano
2.- Relación
3.- Relación Unívoca
4.- Función
5.- Relación de Equivalencia
6.-Relación de Orden
7.- Número Natural
8.- Número Entero
9.- Número Fraccionario
10.- Estructura Métrica
11.- Número Real
12.- Numero Complejo
13.- Estructura Algebraicas
14.- Leyes de Composición
15.- Estructura Lineal (Vectorial)
16.- Coordenadas Cartesianas
17.- Grafos
18.- Etc.

A. PAR ORDENADO (PO)

Se llama Par Ordenado o dupla al conjunto cuyos elementos son a su vez otros dos conjuntos,su símbolo es (x y):

1.- el conjunto {x y} que es un par simple
2.- el conjunto {x} de un único elemento


Definición: (x y):= {{x y} {x}} (x y): Par Ordenado (PO)
x: Primer elemento del PO (Primera componente del PO)
y: Segundo elemento del PO (Segunda componente del PO)

Obs 1: PO es un par de conjuntos (es un Conjunto de Conjuntos) donde {x y} (x y) Obs 2: La igualdad de PO es la deConjuntos
Obs 3: Primer y segundo elemento es una forma de llamar a las componentes del PO, porque los
números todavía no están definidos. Justamente el concepto de número se define a partir del PO.

B. TEOREMAS DE PO




T1.- (x y) = (a b)
TCR T1.- (x y) ≠ (a b) ⇔ x ≠ a y ≠ b
T2.- (x y) = (y x) x ≡ y


TCR T2.- (x y) ≠ (y x) x ≠ y


T3.- Def PO (x x) = {{x}}



C. TERNAS
La definiciónde Par Ordenado se puede generalizar para el caso de tres componentes (ternas) o más componentes, en general para n componentes (nuplas):
Definición: (x y z):= {{x y z} {x y} {x}} (x y z): Terna
x: Primer elemento de la terna
y: Segundo elemento de la terna z: Tercer elemento de la terna
Obs: Si se hubiera definido la terna por la proposición
(x y z):= ((x y) z) (definición no válida)
se habríatomado un conjunto de conjuntos de diferentes niveles
(x y z):= {{(x y) z}, {(x y)}}:= {{{{x y} {x}} z}, {{{x y} {x}}}}
lo cual es erróneo.

D. NUPLAS
Definición: (x1 x2 … xn ) := { { x1 x2 … xn } ... { x1 x2 } { x1} } (x1 x2… xn): Nupla
xi: i-enésimo componente de la nupla


Nupla De 1 Elemento
A fin de generalizar el concepto de nupla para todo valor de n ≥ 1 se define también para el caso de n
=1
Def: (x):= {{x}}
Obs: Nótese que del T3 resulta (x x):= {{x}}


RELACIÓN (R)

Se llama Relación en AxB a todo Subconjunto no vacío del Producto Cartesiano AxB



Def: R Relación AxB: = R AxB, R ≠
R (AxB):= S (AxB):= {(x y): (x y) R} R: Relación AxB:= R AxB, R ≠
S (AxB): Gráfica de R (AxB)

A: Conjunto de Partida o Primer Conjunto del Producto Cartesiano
B: Conjunto de Llegada...