Relaciones y funciones

Matemáticas Discretas
Tc1003
Relaciones y Funciones

Relaciones y Funciones
OBJETIVOS
Unidad
Tema
Subtema
Objetivos
IV Relaciones y funciones
4.1 Relaciones
4.2 Funciones
• Entender y definir el concepto de relación así como las
diferentes representaciones de una relación
• Entender, aprender y utilizar las propiedades de las relaciones
• Conocer y clasificar los tipos de relaciones:
o Deequivalencia
o De orden
o Función
• Graficar una relación
• Entender y definir el concepto de función
• Conocer y utilizar los tipos de funciones
o Biyectiva
o Inyectiva
o Suprayectiva
• Conocer y obtener de una función
o La función inversa
o Una función compuesta
• Conocer y diseñar funciones recursivas

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Relaciones y Funciones

4.1Relaciones
4.1.1 Definición de Relación
El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema.
Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”.
Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no
así al contrario (3 no es menor que 2).
Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos. Un ejemplo:
R:x < y.
Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también
llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que
aparece (primero a, después b) indica la relación: a Rb de a con b.
Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro
conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.
Ejemplos:
* Para A= {a, b, c}
R1= {(a, a) (a,b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)}
⇒ R1 = A × A

* Para A = {España, Inglaterra, Italia}
B= {Paris, Roma, Madrid}
R2: (España, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid)
* R3: (Pepe, María) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere)

Esta relación puede ser: ... hermano de...
Otro ejemplo:
A = {Familia Rodríguez}
Miembro
Edad
Peso
Estatura
Papá Alfonso
(A) 42
77
1.80
Mamá Beatriz
(B) 40
57
1.68Hijo 1 Carlos
(C) 19
61
1.88
Hijo 2 David
(D) 17
66
1.63
Hijo 3 Elena
(E) 15
48
1.53
R1: … es papá de … (A, C) (A, D) (A, E)
R2: … es mas alto que … (C, A) (C, B) (C, D) (C, E) (A, B) (A, D) (A, E) (B, D)
(B, E) (D, E).
R3: … es mas grande que … (A, B) (B, C) (C, D) (D, E), (A, C) (B, D) (C, E), (A, D)
(B, E) (A, E)
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Relaciones yFunciones

Representaciones gráficas de relaciones
Gráfica de relaciones no numéricas

Diagrama de flechas
1
2
3
4
( x, y ) ( y , y ) ( y , z ) ( z, x )

Relación: ...es más grande que...
Nomenclatura para relaciones (R)
• R = {( x, y ) / x < y} relación: x < y
• Es menor que = {( x, y ) / x < y}
• x R y si R: ...es menor que...

Definición:
Sea R una relación ⇒ a R b = (a, b) ∈ R
Ejemplo:
R = {(x, y ), ( y, z ), ( y, y ), ( z, z )}
es verdadera?
no
z Ry
y

R z es verdadera?

Si

Si xRy, xRz, zRy, yRz, zRz, son verdaderas, ¿Cuál es la relación R?
R = {(x, y ), ( x, z ), (z , y ), ( y, z ), (z , z )}

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Clasificación de relaciones
- Relaciones de equivalencia
- Relaciones de orden
- Funciones
1.Relaciones de equivalencia
Características (propiedades)
1) Reflexividad: xRx : ∀x ∈ S ⇒ xRx
( x está relacionada con x )
Ejemplo: El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de clase
S = {Pedro, Javier, Esteban}
R : está en la misma habitación
Pedro R Pedro → reflexividad
2) Simetría: ∀x, y ∈ S . Si x R y ⇒ y R x
Ejemplo: Pedro R Javier ⇒ Javier R Pedro
3) Transitiva: ∀x, y, z ∈ S Si xRy yyRz ⇒ xRz
Pedro R Javier y Javier R Esteban ⇒ Pedro R Esteban
Definición:
Una relación R , definida sobre un conjunto S es una relación de equivalencia ⇔
tienen las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva
Ejemplos:
R:x < y

Reflexiva?

S = {a, b, c}
R = {(a, a ), (c, c ), (a, c ), (c, a )}

R:x≤ y

3<3

Reflexiva?

3≤3

Reflexiva?
aRa

Simétrica?
Transitiva?
5<6⇒3<6

3<5 y 5<3
3<5...