Rentas variables aritmeticas

Cuando una renta varía en progresión aritmética, llamamos 'r' a la razón por la que se incrementan o disminuyen los pagos sucesivos, decimos que C n=C 1±( n−1)∗r y llamamos c∗a a (1 ; n ; i ; r ) alvalor actual y c∗sa (1 ; n ; i ; r ) al valor final. Primero, partimos de un caso particular, en el que c=r=1 al que llamaremos Ia a ( n) Cuando lo desarrolllamos nos queda: −1 −2 −3 (n−1) n Ia a(n)=1∗(1+i) +(1+1)∗(1+i) +(1+2∗1)∗(1+i) +...+[1+(n−2)∗1]∗(1+i) +[1+(n−1)∗1]∗(1+i) Si recordamos que (1+i)−1=v entonces:
n

Ia a (n)=v+2∗v +3∗v +...+(n−1)∗v

2

3

(n−1)

+n∗v =∑ t∗v t
n 1Multiplicando esta expresión por v queda: v∗Ia a (n)=v 2+2v3 +3v 4+...+(n−1)v n+nv (n+1) Restando miembro a miembro: Ia a−v∗Ia a (n)=v+2v2 −v 2+3v3−2v 3+...+(n−1) v (n−1 )−( n−2)v(n−1)+nv n−(n−1) v n−nv (n+1 ) (1−v) Ia a (n)=v +v 2+v 3+...+v(n−1)+v n−nv(n+1) (1+i−1) i 1 1 Recordemos que v=(1+i)−1 ⇒(1−v)=1− = = =i∗( )=i∗v (1+i) (1+i) ( 1+i) (1+i) De lo que obtenemos: i∗v∗Ia a ( n)=v∗(1+v+v 2+v3+...+v (n−1)−nv n) i∗Ia a (n)=a ' ( n)−nv n [a'(n) es una abreviatura para a(0;n;i)] (a ' ( n)−nv n ) Ia a (n)= i (a( n)(1+i)−nv n) Ia a (n)= [Recordando la relación entre Renta a pagos vencidos oadelantados] i Ahora, con esta fórmula, podemos resolver el caso general, donde el primer pago es c y la razón r. Para ello, observemos este esquema:

Si prestamos atención, esta renta puede desglosarse en2 rentas distintas: una renta constante a pagos vencidos c y una renta variable de progresión aritmetrica exactamente igual a la que estuvimos analizando multiplicada por r en n-1 períodos:

Deesto deducimos que el valor actual de una renta a pagos vencidos es: C∗a a (1 ; n ; i ; r )=C∗a ( n)+r∗Ia a (n−1)∗(1+i)−1 Reemplazando Ia a ( n−1) por la fórmula obtenida anteriormente nos queda: (a(n−1)(1+i)−(n−1)(1+i)−(n −1) ) C∗a a (1 ; n ; i ; r )=C∗a ( n)+ ∗(1+i)−1∗r i r C∗a a (1 ; n ; i ; r )=C∗a ( n)+(a (n−1)−( n−1)(1+i)−n)∗( ) i Reemplazamos (1+i)−1 por v, para trabajar más cómodamente r...