Resistencia

FORMULAS GENERALIZADAS DE LA CARGA DE
PANDEO DE EULER
Un diagrama típico tensión-deformación a la compresión para una probeta en la que se impide
el pandeo se puede representar como en la Figura 9.a. En el intervalo de tensiones desde O hasta A
el material se comporta elásticamente. Si la tensión en una columna en pandeo no excede de este
intervalo la columna pandeará elásticamente. Lahipérbola correspondiente a la ecuación (9.32),
σC = π
2E/ (L/r)
2
, es aplicable en este caso. Esta porción de la curva se indica como ST en
la Figura 9.b. Es importante reconocer que esta curva no representa el comportamiento de una
columna sino más bien el de un número infinito de columnas ideales de diferente longitud. La
hipérbola que corresponde a la región situada más allá del intervaloútil se indica en la figura por
medio de una línea punteada.
Una columna con una relación L/r correspondiente al punto S de la Figura 9.b será la columna
de más corta longitud hecha de material y tamaño dados, que se pandeará elásticamente. Una
columna más corta, con una relación L/r aún menor, no se pandeará en el límite de proporcionalidad del material. En el diagrama tensión-deformación, Figura9.a, esto significa que el nivel de
tensiones en la columna ha pasado del punto A y alcanzado quizá un cierto punto B. A este nivel
de tensiones más alto se puede decir, en efecto, se ha creado una columna de material diferente
puesto que la rigidez del mismo ya no está representada por el módulo de elasticidad. En este
punto, la rigidez del material está dada por la tangente a la gráficatensión-deformación, es decir,
por el módulo elástico tangente (o instantáneo), Et
. La columna permanecerá estable si su nueva
rigidez a la flexión EtI en B es suficientemente grande y podrá soportar una carga mayor. A medida que la carga aumenta, el nivel de tensiones se eleva también, en tanto que el módulo referido
a la tangente disminuye. Una columna de “material aún menos rígido” actúa bajo unacarga creciente. La substitución del módulo elástico tangente, Et
, en vez del módulo elástico inicial, E, es
43ε
A
B
C
Et
E
O
σ
L/r
Hipérbola de Euler
Límite de
proporcionalidad
Columnas largas
Intermedias
Cortas
T
S
R
σ
(a) (b)
Figura 9 (a) Diagrama tensión-deformación de compresión (b)Gráfica de la tensión crítica en columnas
en función de la relación de esbeltez
entoncesla única modificación necesaria para obtener las fórmulas de pandeo elástico aplicables
en el intervalo inelástico. En consecuencia, la fórmula generalizada de Euler, o bien la fórmula del
módulo referido a la tangente
5
será
σC =
π
2Et
(L/r)
2
(9.33)
Como los esfuerzos correspondientes a los módulos referidos a la tangente se pueden obtener
a partir del diagrama tensión-deformación ala compresión, la relación L/r a la cual se pandeará
una columna con estos valores se puede obtener de la ecuación (9.33). Una gráfica que represente
esta comportamiento para valores intermedios y bajos de L/r está data en la Figura 9.b por la
curva desde S hasta R. Los ensayos en columnas individuales verifican esta gráfica con notable
exactitud.
Las columnas que se pandean elásticamente sedenominan a veces columnas largas. Las columnas con bajas relaciones L/r no presentan esencialmente fenómenos de pandeo y reciben el nombre
de columnas cortas. Con bajos valores de L/r, los materiales dúctiles “se aplastan” y pueden
soportar cargas muy grandes.
Si la longitud L de la ecuación (9.33) se considera como la longitud efectiva de una columna, se
pueden analizar diferentes condiciones deextremo. De acuerdo con este procedimiento en la Figura
10 se grafica para fines de comparación, la tensión crítica σC en función de la relación de esbeltez
para columnas de extremos empotrados y articulados. Es importante notar que la capacidad de
carga en los dos casos está en la relación 4 a 1sólo para columnas que tengan la relación de esbeltez
(L/r)
1
o mayor. Para valores de L/r...