Resolución De La Ecuación De Laplace Utilizando El Método De Diferencias

Resolución de la Ecuación de Laplace utilizando el método de diferencias nitas y separación de variables
Profesora : Irla Mantilla Alumno: Abdel Aragón Avilez 16 de diciembre de 2011

Resumen
En el presente trabajo se va desarrollar una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico denominada la ecuación de laplace en dos variables (x, y), utilizando dos métodos:Diferencias nitas en coordenadas polares (r, θ) y el método de separación de variables. Obteniendo la solución utilizando las condiciones de frontera (condición de dirichlet ó Neuman) que presente cada problema. Este desarrollo es muy útil ya que la ecuacion de laplace participa en muchos casos físicos como, en la electrostática el gradiente del potencial va ser igual al campo eléctrico es decir para V =E = 0,tambien se aplica en la mecánica de uidos como un caso particular de la ecuación de Navier Stokes, es por ello que haciéndonos valer de este conocimiento básico, se podrá utilizar de manera efectiva para aplicarlo en estos casos físicos y más.

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Introducción Tema1: Resolución de la Ecuación de laplace en un dominio circular utilizando diferencias nitas
En diferencias nitas elproblema de resolver la ecuación de Laplace en dos dimensiones en un dominio circular, implica convenientemente la conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, ya que en un dominio circular se va obtener dos variantes; La variante angular (dθ) y la variante radial (dr), donde estas se van a utilizar aplicando la técnica de los 5 puntos, que consiste en utilizar 2 veces la expansión detaylor para una función con aproximación O(h2 ), esto conlleva a tener un sistemas de ecuaciones lineales
Au = b

donde u va ser la matriz columna que contiene los valores de u(ri , θj ) para i = 1, ..., n y j = 1, ..., m dentro del círculo , b es la matriz columna que contiene los valores de u(ri , θj ) en la frontera del círculo y A la matriz pentadiagonal que tiene valores constantes, esasí que nuestro objetivo será obtener u multiplicando la inversa de la matriz A en cada lado de la ecuación, luego hallamos esta inversa por el método de gauss seidel ó también utilizando el método LU para valores de n y m pequeños es decir datos menores y para datos mayores se utiliza ya los conocidos métodos iterativos que no se van a desarrollar por ahora.Es así que partimos de: Sea la ecuación deLaplace:
1 ∂ 2u ∂ 2 u 1 ∂u + + 2 2 =0 r ∂r r ∂θ ∂r2

Denimos los puntos de malla en el plano como r − θ que pasa por los puntos de intersección de los círculos r = ih (i = 1, 2, 3, ...), y las líneas rectas θ = jθ con (j = 0, 1, 2, 3, ...) como se observa en la gura 1. La ecuación de Laplace en el punto (i, j), entonces se puede aproximar utilizando la expansión de taylor para u(x, y) de lasiguiente manera:
(ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ) 1 (ui+1,j − ui−1,j ) 1 (ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 ) + + =0 2 h ih 2h (ih)2 (δθ)2

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Figura 1 Resultando así:
1− 1 2i ui−1,j + 1 + 1 2i ui+1,j −2 1 + 1 (iδθ)2 ui,j + 1 1 ui,j−1 + ui,j+1=0 (iδθ)2 (iδθ)2

Si estas ecuaciones están escritas en detalle para i = 1, 2, 3, ..., n y j = 1, 2, 3, ..., m, y se supone que se conocen los valores de lafrontera para i = 0, i = (n + 1), j = 0, j = (m + 1), se encontró que su forma matricial es:
Au = b

Donde b es un vector columna determinada por los valores que están en la frontera del círculo y u un vector columna cuya transposición es
(u1,1 , u1,2 , ...., u1,m , u2,1 , ..., u2,m , ..., un,1 , ..., un,m )

y A es una matriz que se puede escribir en forma particionada como:
       
1 0... 0 0 B1 (1 + 2 )I 1 (1 − 4 )I B2 (1 + 1 )I 0 0 0 4 1 1 0 (1 − 6 )I B3 (1 + 6 )I 0 0 0 ... ... ... 0 0 1 1 0 0 0 (1 − 2(n−1) )I Bn−1 (1 + 2(n−1) )I 1 0 0 0 0 (1 − 2(n) )I Bn

       

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Donde cada B e I son las matrices de mxm y además Bp es igual a:
      
1 −2(1 + (pδθ)2 ) 0 0 0 0 1 (pδθ)2 1 (pδθ)2

0
1 ) (pδθ)2 1 (pδθ)2 1 (pδθ)2

− 2(1 + 0 0 0

... − 2(1 +...