Resolución de ecuaciones

Resolución de ecuaciones
En matemáticas, la resolución de una ecuación es el procedimiento de encontrar cuáles son los valores (números, funciones, conjuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una ecuación). Estos valores se suelen denominar raíces de la ecuación.
Generalmente, la condición comprende expresiones con variables (o incógnitas) indefinidas que deben sersustituidas por valores de forma tal que la igualdad sea cierta.
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si admiten las mismas soluciones.
En un caso general, sea
f(x1,...,xn) = c,
siendo c una constante, que tiene un conjunto de soluciones S del tipo
{(a1,...,an) pertenecen a Tn tales que f(a0,...,an)=c}
con Tn el dominio de la función. Notar que es posible que el conjunto de solucionespuede ser vacío (o sea no hay soluciones), unitario (existe exactamente una solución), finita, o infinito (existe un número infinito de soluciones).
Por ejemplo, para resolver la ecuación,
3x + 2y = 21z
primero se la modifica de forma de mantener la igualdad, por ejemplo restando en ambos lados 21z de forma tal de obtener
3x + 2y - 21z = 0
En este caso, se observa que existe un número infinitode soluciones para esta ecuación, las soluciones se pueden expresar como
{(x, y, z) tales que 3x + 2y - 21z = 0}.
una solución particular es x = 20/3, y = 11, z = 2. En efecto, este conjunto particular de soluciones describe un plano en un espacio de tres dimensiones, el cual pasa por el punto (20/3, 11, 2).
Índice
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• 1 Conjuntos de soluciones
• 2 Métodos de solución
o 2.1Funciones inversas
 2.1.1 Ejemplos
o 2.2 Métodos numéricos
 2.2.1 Series de Taylor
• 3 Resolución de otras ecuaciones
• 4 Véase también
Conjuntos de soluciones[editar • editar fuente]
Si el conjunto de soluciones es vacío, entonces no existe ningún xi tal que
f(x0,...,xn)=c
sea cierto para un dado valor de c.
Por ejemplo, examinemos el caso clásico de una variable, dada la funciónconsideremos la ecuación
f(x) = -1
El conjunto solución es {}, en el sentido de que no existe ningún número real positivo que resuelva la ecuación. Notar que si en la búsqueda de soluciones para esta ecuación, modificaramos por ejemplo la definición de la función - específicamente el dominio de la función, entonces es posible encontrar soluciones para la ecuación. Por lo tanto, si modificaramos elproblema y definieramos

g(x) = -1
tiene un conjunto solución {i, -i}, donde i es la unidad imaginaria. Esta ecuación tiene exactamente dos soluciones.
Tal como se ha ilustrado previamente ciertos conjuntos de soluciones describen superficies. Por ejemplo, el conjunto solución de una ecuación del tipo ax=b con a,b constantes reales, es una línea en el espacio vectorial R2. Sin embargo, nosiempre es posible graficar en forma simple los conjuntos...solución - por ejemplo, el conjunto solución de una ecuación del tipo ax+by+cz+dw=k (con a, b, c, d, y k constantes reales) es un hiperplano. CASOS ESPECIALES Ejemplo de una ecuación sin solución x-3=x+2 Al restar x en ambos lados de la ecuación queda -3=2, lo cual no se cumple para ningún valor de x. Ejemplo de una ecuación con infinitassoluciones 2x-1=3x+3-x-4 Al simplificar queda 2x-1=2x-1, lo cual se cumple para cualquier valor de x.
Métodos de solución[editar • editar fuente]
En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces seutilizan soluciones numéricas aproximadas.
Funciones inversas[editar • editar fuente]
Para el caso simple de una función de una variable, por ejemplo, h(x), se puede resolver una ecuación del tipo
h(x) = c, c constante
si se tiene en cuenta lo que se denomina la función inversa de h.
Dada una función h : A → B, la función inversa, identificada como h-1, se define como h-1 : B → A es una función...