Resoluci nEcuaciones

Algorítmo para resolver sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas
January 8, 2014

El siguiente artículo es una colaboración de Rogelio González, al que agradezco su interés por colaboraren
este blog.
Una ecuación no es más que una igualdad en la que hay cantidades desconocidas llamadas incógnitas.Las soluciones son los valores que tienen las incógnitas cuando satisfacen la igualdad.Unsistema de ecuaciones es la reunión
de 2 o mas ecuaciones con 2 o más incógnitas.Así:

x+y =3
2x + 3y = 3
Es un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son x = 6, y = −3.Los sistemas de ecuacionestienen aplicaciones en todas las ciencias entonces es útil tener un algoritmo que las resuelva y comprender qué es lo que
hace.Normalmente utilizaríamos algo de algebra lineal para resolverlo pero hoyvamos a hacerlo de otro modo.

Tipos de sistemas de ecuaciones
Aunque de manera intuitiva nos puede parecer que todo sistema tiene soluciones únicas esto no es así.El sistema
pueder tener solucionesunicas como el primer ejemplo,infinitas soluciones o no tener solución.¿Qué hace distinto
un sistema de otro? o en otras palabras ¿Qué método tenemos que nos diga que sistema es?

Determinantes
Eldeterminante de nuestro sistema es el que nos dirá qué tipo de sistema es.El determinante del sistema:

ax + by = c
dx + ey = f
Viene dado por ae − bd, en el primer ejemplo el determinante es 1 pues 1 · 3 − 1· 2 = 1.En general si el
determinante (D ) es distinto de cero tenemos soluciones únicas, si el determinante es cero entonces o hay infinitas
soluciones o no hay ninguna. En ”el caso fácil” cuando D̸= 0 las soluciones están dadas por:

x=

ec−bf
ae−bd

y=

af −dc
ae−bd

Ahora ”el caso difícil” cuando D = 0 ¿Cómo saber si el sistema tiene infinitas soluciones o ninguna? Pongamos
atención en lossiguientes sistemas:

x+y =3
2x + 2y = 6
x+y =3
2x + 2y = 5
En el primer sistema es fácil ver que la segunda ecuación es solo la primera multiplicada por 2 y es coherente
el resultado.Sin embargo en el...