Resolución Por Sustitución Simple

TEMARIO
Resolución Por Sustitución Simple

Ecuaciones Homogéneas

Ecuaciones Exactas

Ecuaciones Integrales

Ecuaciones lineales

Resolución por sustitución simple

La resolución de integrales por sustitución consiste en sustituir expresiones de dentro de la integral por otras que la hacen más sencilla de resolver. Es muy importante tener en cuenta que a parte de sustituir laexpresión de dentro de la integral también hay que cambiar el término dx. Cuando hayamos resuelto esta integral más sencilla, deshacemos el cambio de variable.

Utilizando este método vamos a reslover las siguientes integrales:

1cos^2(x)⁡dx
∫sin(2x)dx

Esta es muy sencilla. Sustituiremos 2x por la variable t=2x. También tenemos que cambiar el término dx.Una vez hayamos hecho el cambio nos han dedesaparecer las x’s y quedarnos únicamente t’S

Esta es muy similar a la anterior. cambieremos 1-4x por t=1-4x.

En esta no es tan sencillo el cambiar todas las x’s por t’s. Pero una vez lo hemos hecho la resolución es muy sencilla.

Y para el final he dejado la más complicada. Sustituir las x’s por las t’s no es sencillo.

En este caso cuando hacemos la derivada de la tan(x) nos apareceotra función trigonométrica, además elevada al cuadrado. Como queremos que nos desaparezcan las x’s y nos queden únicamente las t’s tendremos que operar. Para ello tendremos en cuenta que sin2x+cos2x=1, así que…

Lo que hemos conseguido es poner la expresión cos2x en functión de t.
Con esto ya podemos hacer la integral, recuerda este cambio ya que lo utilizaremos un par de veces:Ecuaciones homogéneas
UNa ecuacion homogenea es aquella en donde el termino independiente es cero, osea, que si o si tiene uina solucion (la trivial)
Por ejemplo
3x + 4y + 8z = 0
esta ecuacion tiene una solucion segura que es cuando x = y = z = 0

En la práctica, es muy difícil que nos encontremos con ecuaciones diferenciales separables. Sin embargo, hay ocasiones en las que algún tipo desustitución transforma la ecuación diferencial no separable en una ecuación que sí es separable. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales homogéneas. Una ecuación diferencial se llamahomogénea si puede escribirse de la forma

dydx=f(yx)

Vemos entonces que en este tipo de ecuaciones, dydx queda aislada en un lado de la ecuación, mientras que en el otro lado tenemos unaexpresión en la que x e y aparecen siempre en la forma yx

Ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas son

dydx=yx2+1,dydx=cosyx+yx,dydx=ly/x+3

Veremos ahora que la sustitución  u=y/xtransforma una ecuación diferencial homogénea en una ecuación diferencial separable. En efecto, pues si  u=y/x entonces

dydx=u+xdudx
de modo que la ecuación (1.9) se transforma en la ecuaciónu+xdudx=fu.
Esta ecuación es claramente separable, y puede escribirse como

1fu-u dudx=1x

luego en forma diferencial tenemos

1fu-u du=1xdx

así que integrar ambos lados de la ecuación da lugar a una ecuación que definirá la solución general de la ecuación

Definición de función Homogénea
Sea la función  Z = ƒ(x, y), se dice que es homogénea de grado "n" si se verifica que f( tx, ty) =tⁿ f( x, y) ; siendo "n"  un número real. En muchos casos se puede  identificar el grado de homogeneidad de la función, analizando el grado decada término:
Ejemplos:
a) f( x ,y) = x² y² + 5x³ y - y 4, aplicando la definición se tiene: |
      f( tx,  ty) =  (tx)²  ( ty)²  + 5 (tx)³ (ty) - ( ty )4         |
      f( tx,  ty) =  t4  x² y² + 5 t4 x³ y - t4 y4 |
      f(tx, ty ) = t4 (x2 y2  +5x3 y - y4 ) |
       f( tx,  ty) =  t4   f ( x, y)    |
 

Por lo tanto la función es homogénea de grado 4
b)     
f( tx, ty) = t0 f(x,y) |
                 
 Entonces la ƒ(x ,y) es Homogénea de grado 0
f ( x, y) = 5xy + 3x ,  No es una función homogénea ya  que: |

c)
f (tx, ty) = 5 ( tx, ty) + 3 tx |
f (tx, ty) =  5 t2 xy + 3 tx      |
f ( tx, ty)=  t( 5 t xy + 3x ) ≠ ...