Resolver Una Ecuación O Inecuación Lineal Con Una Incógnita

Para resolver una ecuación o inecuación lineal con una incógnita, aislamos el término que contiene la incógnita en un miembro de la ecuación o inecuación. Ahora vamos a estudiar cómo hallar la solución de dos ecuaciones o dos inecuaciones a la vez. Esta situación ocurre cuando queremos resolver un sistema de ecuaciones o inecuaciones, un producto de ecuaciones o inecuaciones, o una ecuación oinecuación con valores absolutos.
I. Resolver un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolvemos cada una de las inecuaciones, obteniendo para cada una un intervalo como solución. A continuación, buscamos la intersección o parte común de esos dos intervalos. Si existe, es la solución del sistema deinecuaciones.
Ejemplo:
Queremos resolver el sistema de inecuaciones .
Estas inecuaciones se pueden simplificar, quedando .
El conjunto solución del sistema de inecuaciones es la intersección de los dos intervalos:
, es decir, . (Para obtener la intersección es útil representar ambos intervalos.)
II. Resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Existen tres métodos pararesolver estos sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción.
—Si una de las incógnitas tiene un coeficiente de 1 o -1, es preferible usar el método de sustitución.
En una de las ecuaciones despejamos la incógnita cuyo coeficiente es 1 o -1 en función de la otra incógnita, y a continuación sustituimos la expresión de esa incógnita en la segunda ecuación.
Ejemplo:
En el sistemade ecuaciones , si expresamos x en función de y en la primera ecuación, obtenemos el sistema siguiente: .
Ahora sustituimos x por en la segunda ecuación, resultando:
, que simplificando queda , de donde podemos calcular el valor de y, y sustituirlo en la primera ecuación para obtener x: .
Es decir, la solución del sistema es: x = -1, y = 2.
—Si una de las incógnitas tiene de coeficientes 1 o –1en las dos ecuaciones, es preferible usar el método de igualación.
En las dos ecuaciones despejamos la incógnita cuyo coeficiente es 1 o -1 en función de la otra incógnita, y a continuación igualamos las expresiones obtenidas.
Ejemplo:
En el sistema de ecuaciones , si expresamos x en función de y en las dos ecuaciones, obtenemos el sistema siguiente: .
Igualando ambas expresiones, resulta: 3- 2y = 7 + 2y, de donde -2y – 2y = 7 – 3.
Operando con esta igualdad, obtenemos el valor de la variable y: -4y = 4, de donde y = -1.
Sustituyendo este valor en cualquiera de las dos expresiones anteriores de x, resulta: x = 3 - 2·(-1) = 3 + 2 = 5.
Así pues, la solución del sistema es: x = 5, y = -1.
—Si los coeficientes de las incógnitas son distintos de 1 o de -1, usamos el método dereducción para no tener que operar con fracciones.
Este método consiste en lograr que los coeficientes de una de las dos incógnitas sean iguales, pero con signos opuestos en las dos ecuaciones. Para ello, multiplicamos cada ecuación por el número que convenga para lograr que ambas tengan una de las variables con el mismo coeficiente cambiado de signo. Al sumarlas después, se anulará esa incógnita,quedando una ecuación con la otra incógnita, ecuación que ya podemos resolver.
Llevando el valor obtenido a una cualquiera (la más sencilla) de las dos ecuaciones iniciales, obtendremos el valor de la otra incógnita.
Ejemplo:
En el sistema de ecuaciones , multiplicamos los términos de la primera ecuación por 2 y los de la segunda por 3, resultando: .
Sumando ahora ambas ecuaciones obtenemos: 13x=16, de donde x = 2.
Y sustituyendo este valor en la primera ecuación: 2·2 + 3y = 7, de donde 3y = 3, resultando y = 1.
La solución del sistema es pues: x = 2, y = 1.
—Un sistema de ecuaciones puede no tener solución o tener infinitas soluciones.
Sea el sistema de ecuaciones en el que los coeficientes de x y de y son proporcionales, es decir, , de donde . Este sistema no tiene solución o tiene...