Resueltos

Mec´
anica de Fluidos - 2008
Ejercicios resueltos
1. En un difusor de longitud L funcionando en r´egimen estacionario se miden los campos de velocidad y de
0
densidad, verific´
andose que responden aproximandamente a las siguientes expresiones: v = 1+Ux/L
,0
y ρ = ρ0 e−x/L . Se desea que todo el fluido en el interior del difusor (0 < x < L) experimente un ritmo
de variaci´on de su densidad mayoren valor absoluto que ρ˙ min . ¿Cu´al debe ser la relaci´on entre ρ˙ min ,
L, , ρ0 y U0 para que se cumpla dicha condici´on?
Respuesta: El requerimiento de que “todo el fluido en el interior del difusor (0 < x < L) experimente
un ritmo de variaci´
on de su densidad mayor en valor absoluto que ρ˙ min ” es equivalente a pedir que el
m´odulo de la derivada material de la densidad sea mayor que ρ˙ min:
Dρ
> ρ˙ min
Dt
Escribiendo la derivada material del campo de densidad, que este caso es estacionario, resulta:
Dρ
−U0 ρ0 e−x/L
∂ρ
U0
∂
ρ0 e−x/L =
= (v · ∇) ρ +
=
Dt
∂t
1 + x/L ∂x
L+ x
Suponiendo valores positivos de los par´ametros, la condici´on queda:
U0 ρ0 e−x/L
> ρ˙ min
L+ x
y debe cumplirse para 0 < x < L, como se trata de una funci´on decreciente, es suficiente que se cumpla
en el extremoderecho:
Uo ρ0 > ρ˙ min L(1 + )e
2. La compuerta ABC de la figura es cuadrada, sus lados miden 1m y est´a articulada en el punto B.
La compuerta est´
a dise˜
nada para abrirse autom´aticamente cuando el nivel del agua h sea suficiente.

h

Agua

a) Determine la menor altura para la cual se producir´a la
apertura. (Desprecie la presi´
on atmosf´erica).
b) ¿El resultado es independiente de ladensidad del l´ıquido?

A 60 cm
B

c) ¿Depende de la presi´
on atmosf´erica?

C

40 cm

Respuesta:
a) La condici´
on para que la compuerta se abra es que la fuerza de presi´on del agua sobre la misma
sea ejercida por sobre el punto de articulaci´on. La situaci´on l´ımite se da cuando la l´ınea de acci´
on
de la fuerza pasa exactamente por dicho punto.

La distancia entre el centro geom´etrico de lacompuerta y el centro de presiones (l´ınea de acci´
on
de la fuerza resultante debida a las presiones) se puede calcular con:
d=

ρgIxx
F

donde rho es la densidad del fluido, g es la aceleraci´on de la gravedad, Ixx es el momento de
inercia de la superficie, medido desde un eje horizontal, que pasa por su centro geom´etrico, y
F es la fuerza total debida a las presiones, que puede calcularse comola presi´on en el centro
geom´etrico multiplicada por el ´
area de la compuerta. Si L es el lado de la compuerta (cuadrada),
el momento de inercia vale:
L/2

x2 dS =

Ixx =

x2 L dx =
−L/2

S

L4
12

Suponiendo presi´
on atmosf´erica 0, podemos calcular la presi´on en el centro geom´etrico y la fuerza
F:
pc.g. = ρg(h + L/2), F = L2 ρg(h + L/2)
La situaci´
on l´ımite en este caso se da cuando d =L/10, reemplazando:
L
ρgL4 /12
= 2
10
L ρg(h + L/2)
operando llegamos finalmente a que h =

L
3

= 0.33m.

b) Efectivamente, seg´
un las hip´
otesis y aproximaciones realizadas, llegamos a que el resultado no
depende de ρ.
c) Si se considerara una presi´
on atmosf´erica uniforme, habr´ıa que tener en cuenta la fuerza de
presi´on sobre la compuerta del lado izquierdo, pero tambi´en habr´ıa queconsiderar incrementada
la fuerza de la presi´
on sobre el lado derecho. Puede verificarse que ambos efectos se compensan
exactamente y el resultado es el mismo. (La posici´on del centro de presiones va a ser distinta, pero
tambi´en hay que considerar la fuerza de presiones del lado aire, que ejerce un momento sobre la
compuerta articulada).
Si adem´
as se tuviera en cuenta la densidad del aire, lapresi´on atmosf´erica ya no ser´ıa uniforme
y el resultado depender´
a tanto de la densidad del aire, como de la densidad del agua.

3. Se tiene una secci´
on de longitud L de un tubo circular de radio interno R por el que circula un fluido
de densidad ρ y viscosidad µ en r´egimen laminar completamente desarrollado (la velocidad es axial).
2

cumple las ecuaciones de
a) Verifique que un perfil de...