Resultantes Y Discriminantes

Índice

Definiciones ----------------------------------- 4

Resultante -------------------------------------- 5

Discriminante ---------------------------------- 9

- Polinomios con coeficientes reales ----------12

Problemas ------------------------------------ 15

- Ejercicio 1-------------------------------- 15
- Ejercicio 2 ------------------------------- 22Definiciones


Definición


Se dice que [pic]K es una raíz de multiplicidad m de f(x)[pic] [pic][pic] y no se da que [pic].


Definición


Diremos que un cuerpo L es una extensión de un cuerpo K y lo denotamos por L:K ó [pic] si existe un homomorfismo de anillos inyectivo [pic]. En este caso identificamos K con [pic] y porabuso del lenguaje escribimos que [pic].


Definición


Sea [pic] una extensión de cuerpos. Sea [pic]. Diremos que [pic] es algebraico sobre K si existe un polinomio [pic] tal que [pic].


Definición


Un cuerpo K se dice que es algebraicamente cerrado si todo polinomio f(x)[pic]K[x]-K tiene una raíz en K.


















LA RESULTANTE DE 2POLINOMIOS.


Definición 1:


Sea K un cuerpo contenido en un cuerpo algebraicamente cerrado C. Sea F y G dos polinomios de K[X] de grado m y n respectivamente.
Escribimos:

F(x) = a[pic]
y


G(x) = b[pic] en C[X]

La resultante de dos polinomios distintos de cero, F y G están definidos por el producto:

Res (F,G) = [pic] =[pic][pic]

Si F = 0 ó G = 0 [pic] Res (F,G) = 0

[pic]Observación:


La resultante es independiente del cuerpo C elegido, como veremos nosotros.
Escribiremos Res[pic](F,G) siempre que sea necesario distinguir la variable con respecto a la resultante que tomamos.


Proposición 1:


1.- La resultante de dos polinomios en K[X] es 0 [pic] los dos polinomios tienenuna raíz común en C.
2.- La resultante de dos polinomios no nulos en K[X] es 0 [pic]los dos polinomios tienen un máximo común divisor que no es ni una constante, ni cero en K[X].

3.- La resultante de dos polinomios no nulos en K[X] es un elemento de K, y tenemos:


Fórmula 1:
Res (F,G) = [pic],


Fórmula 2 :
Res (F,G) = [pic]Res(G,F),Fórmula 3:
Res (F,G) = [pic][pic][pic]Res (G,R)


si la división euclídea de F y G da F = GQ+R con grado R < grado G.
Si R= 0 [pic] Res (F, G) = 0.

Fórmula 4 :
Res (F,b) = [pic] para b del polinomio constante.
[pic]
Demostración:

1.-
“[pic]”
Si F, G [pic]0 y Res (F,G) = 0 [pic] [pic]= 0 [pic] [pic]= 0 [pic] [pic]= 0 [pic][pic] j = k : [pic][pic] [pic][pic] F y G tienen una raíz común.

“[pic]”
Si [pic]F [pic] [pic]G : [pic][pic] [pic][pic]= =[pic][pic][pic]= 0; j[pic]k si i = k.



2.-
“[pic]”
Supongamos que F [pic] G [pic]0 ya que si F = 0 [pic] G = 0 [pic] Res (F,G) = = 0.
Como F y G tienen coeficientes en K, podemos calcular el m.c.d.(F,G) en K[X]. Sea S = m.c.d (F,G) [pic] K[X]. Si Fy G tienen una raíz común [pic] en C [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic][pic] S no es constante.

“[pic]”
Si S = m.c.d.(F,G) [pic] cte [pic] cada raíz de S es una raíz de F y G [pic] por (1) se tiene que Res (F,G) = 0.


3.-
Fórmula 1:
Res (F,G) = [pic][pic]= [pic]=[pic].
Fórmula 2 :
Res (F,G) =[pic][pic]=[pic][pic]= =[pic][pic]=[pic]= (-1)[pic] Res(G,F).

Fórmula 3:Res (F,G) = (-1)[pic] Res(G,F)[pic] (-1)[pic]Res (G,GQ+R)= =(-1)[pic] [pic]=(-1)[pic] [pic][pic] =(-1)[pic] [pic]Res(G,R).


(1) Queremos ver que:

(-1)[pic] [pic] =(-1)[pic] [pic]Res(G,R).

Nosotros sabemos que:
[pic]= [pic][pic][pic]=[pic][pic]
[pic][pic][pic]= [pic][pic][pic]=[pic]Res(F,G),...