Resumen Calculo

Resumen de Análisis matemático-Página 1

Calculo de límites
Límites laterales
Aproximación a un pto. por defecto (izq.), por exceso (der.)
Para que exista límite tienen que existir límites laterales y que tanto el límite en el
punto como los laterales sean igual a un número que no sea infinito.
Indeterminaciones : 0/0 , ∞/∞ , 0·∞ , 1∞, 00, ∞0 , ∞-∞
1. Funciones racionales ; g(x)/g(x) =0/0 ó ∞/∞
• 0/0 Se hace el cociente de polinomios.
• ∞/∞ Se divide por el X de mayor grado.
2. Funciones irracionales ; g(x)/g(x) = 0/0 ó ∞/∞
Multiplicamos por el conjugado de la raíz arriba y abajo
3. L´Hopital, se deriva en el numerador y en el denominador a la vez.
4. 0 · ∞ Se transforma en el primer o segundo caso. Ejemplo :
f (x)

 Lim 1
n→ 0
g( x )

Lim f ( x ) • g( x ) =  o_bien
n→ 0

g( x )
 Lim 1
n→ 0
f (x)


Da ∞/∞ o 0/0

(

1. 1∞ ,0 0 , ∞ 0 ⇒ 108800

• Si el límite tiende a infinito se hace por el número e e =

)
Lim(1 + f ( x ))

1
f (x)

x →∞

Donde F(x) tiende a 0.
• Si tiende a K se hace por Logaritmos neperianos
Lim Ln( Ln. x ) x = Ln. k ⇒ Lim x • Ln( Ln. x ) = Ln. k
x→ 0

x→0

1/ x
Ln
Lim − 1. x =
x→0
x2
Ln. k = 0 ⇒ e0 = k ⇒ k = 1
Ln( Ln. x )
Ln. k = Lim
=
1
x→0
x

− x2
Lim x • Ln. x =
x→0

−1

Lim 1 / x = Lim ( − x ) = 0
x→ 0

x→0

2. ∞ − ∞ Multiplicando y dividiendo por su conjugado
Comparación de Infinitos : Logb n < n < na < kn < n ! < nn

© Juan Carlos de la Cruz Acedo

Resumen de Análisis matemático-Página 2

Tema 1 : Sucesiones
Es una aplicación de los números naturalessobre los reales.
Sucesión acotada : ∀n ∈ N ⇒ ∃c ∈ R / a n ≤ c
Una serie converge cuando su límite existe, será divergente cuando su límite sea ± ∞.
Toda sucesión convergente está acotada y el valor de convergencia es la cota.

Carácter de una sucesión :
• Convergente : si el límite del termino general es finito
• Divergente : si el límite del termino general es + o - infinito
• Oscilante : sicarece de límite (no es ninguna de las anteriores)
∀n ∈ N ⇒ a n+1 > a n : creciente
∀n ∈ N ⇒ a n+1 < a n : decreciente

MONOTONIA

Si no se verifican estas dos condiciones son oscilantes
Para estudiar su monotonía
 > 0 ⇒ creciente
 > 1 ⇒ Creciente
a n+1 

∀n ∈ N ⇒
a n − a n +1 < 0 ⇒ decreciente
< 1 ⇒ Decreciente
an 
 = 0 ⇒ iguales
 = 1 ⇒ Iguales

Para calcular loslímites podemos utilizar todo menos L´Hopital.
Comparación de infinitos : Logb n < n < na < Kn < n ! < nn
Criterio de STOLZ
a
a − a n−1
Lim n = Lim n
n→∞ b
n →∞ b − b
n
n
n −1

(bueno para eliminar factoriales o términos infinitos con relación)
1

Y Lim a
n→∞

1
bn
n

 a  bn +1 −bn
= Lim n+1 
n →∞  a 
n

{bn} es monótona creciente con Lim {bn}= ± ∞
ó
{bn} es monótonacreciente y lim {an} = Lim {bn} = 0.

Solo si se cumple :

Comparación con otras sucesiones
Dado an En el que no sabemos Lim an , Si hay un bn >= an en el que el Lim bn = K y
también Hay un cn 0 para todo n
perteneciente a los números reales
1
Lim a n = 1
n →∞
1
 a n +1  bn +1 − bn
Si :
y
Entonces Lim
= Lim a n bn

n →∞  a
n →∞
n
Lim bn = 0 o Lim bn = ∞
n →∞

n →∞© Juan Carlos de la Cruz Acedo

Resumen de Análisis matemático-Página 3

Tema 2 : Series
Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa
como : ∑ an y corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión.
Carácter de una serie.
Convergente : Cuando la suma es un número real.
Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.
Oscilante : Cuandono es ninguna de las anteriores.
Suma de una serie geométrica. Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 + .....+ arn-1 + arn + arn+1
• |R| < 1 Serie convergente
a1 − a1 R n
• R ≤ -1 Serie oscilante
Suma =
1− R
• R ≥ 1 Serie divergente
Propiedades generales de las series numéricas
1. ∑ an = S entonces ∑ K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
Si ∑ an es divergente no podemos saber nada.
2. Al...