Resumen de Lógica de Nidditch

Desarrollo de la Lógica Matemática
Nidditch



















La lógica matemática es el resultante de cuatro líneas de pensamiento
1- La lógica antigua, inventada por Aristóteles.
2- La idea de un lenguaje completo y automático para el razonamiento.
3- Los nuevos progresos en álgebra y geometría posteriores a 1825.
4- La idea de que hay sistemas deductivos en lamatemática.
En los escritos de Aristóteles encontramos cinco aspectos, los cuales son a) discusiones del lenguaje común, principalmente en relación con los diferentes géneros de palabras y su conexión con los órdenes de la existencia b) un conjunto de sugerencias sobre el arte de la argumentación, arte que implica la destrucción de los argumentos de nuestros enemigos y de impedir que nuestrosargumentos sufran dichos ataques, c) enseñanzas sobre el método científico y sobre como la investigación de las ciencias naturales puede determinar el aumento de nuestro conocimiento de la física d) una serie de puntos de vista sobre la correcta organización de un sistema en las matemáticas y e) una teoría del razonamiento cierto, el silogismo.
Los razonamientos ciertos son aquellos que por sí solosson verdaderos si, sus enunciados implicados, son también verdaderos. El término de implicación es la relación “si a entonces b”. Una implicación es válida si el consecuente es verdadero cuando sus condiciones son verdaderas.
En la lógica de Aristóteles cuatro tipos de enunciados pueden ser usados como antecedentes o consecuentes (enunciados categóricos) los cuales pueden ser
Todo s es PNingún S es P
Algún S es P
Algún S no es P
En opinión de Aristóteles, los únicos nombres que tienen sentido en un enunciado categórico son los nombres comunes o universales (hombre, flor , verde) pero no los nombres de personas o de lugares o de otras cosas susceptibles de ser consideradas como unidades reales. La lógica modal de Aristóteles no tuvo mucha influencia en el pensamiento posterior y, alparecer, no jugó papel alguno en el nacimiento de la lógica matemática.
Una implicación silogística es una implicación con dos y solo dos antecedentes y un consecuente, siendo tanto aquéllos, como este, enunciados categóricos. Lo que Aristóteles se proponía hacer con su silogística fue proporcionar una relación completa y detallada de las diferentes formas posibles de silogismos y un cuerpocompleto de reglas para comprobar la validez de cualquier silogismo dado. Mas no era posible saber si las respuestas eran ciertas o equivocadas o cuales de estas respuestas eran mas bien cuestiones que necesitan ser respondidas. Su lógica era una lógica de reglas enunciadas en el lenguaje ordinario de la época, no se utilizaban símbolos especiales para las operaciones del razonamiento y no parece quese pensara que fuese posible convertir la lógica en una especie de matemática. Se concebía la lógica como una ciencia aparte de las matemáticas.
La expansión que permitió a la antigua lógica cubrir por lo menos alguna parte de la lógica de las relaciones fue llevada a cabo por De Morgan, para quien la lógica de relaciones era mas importante que la silogística, la cual venía a ser solo una pequeñaparte de la lógica.
El trabajo de los Megáricos en lógica tuvo lugar entre el 400 y el 275 a.c. y el de los estoicos, entre los años 300 y 200. La lógica megárico-estoica se diferenciaba de la aristotélica en dos aspectos: en primero, se interesaba por las formas de razonamiento que tienen la estructura de un argumento y no la estructura de una implicaciones, en segundo lugar no era una lógicaque analizase los enunciados categóricos y afines, sino una lógica que investigaba los juntores o partículas conectivas de los enunciados. Los tipos de razonamiento a los cuales prestaron atención los megáricos y estoicos eran estos
Si e1, entonces e2, y e1; por lo tanto e2
Si e1, entonces e2 y no e2, por lo tanto no e1
No ambos e1 y e2, y e2, por lo tanto no e2
e1 o e2, por lo tanto no e2...