Resumen Geometría

RESUMEN DE VARIOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

1.-

Figuras Congruentes y Semejantes. Teorema de Thales. Escalas.
- Se dice que dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo
tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas.

Fig. 1.- Triángulos congruentes

- Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma, aunquepuedan tener distinto tamaño.

fig 2.- Pentágonos semejantes

Decimos que, matemáticamente, dos figuras son semejantes si y sólo si cumplen las
siguientes condiciones:
a) Los ángulos correspondientes son congruentes (misma forma).
b) Los segmentos correspondientes son proporcionales.
Se llama razón de semejanza o escala, al cociente entre dos longitudes correspondientes.
Uno de losprincipales teoremas relacionados con la semejanza es el teorema de Thales:
Teorema de Thales
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos
triángulos semejantes.

A B
=
D C

O lo que es lo mismo

A D
=
B C

Criterios de Semejanza de Triángulos
1 Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

A=A' ; B=B' : C= C'
2 Dostriángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

a/a' = b/b' = c/c'
3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos igual.

a/a' = c/c' ; B = B'
Escalas
La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo
que representa la realidad sobre un plano o un mapa.
Las escalas se escriben en formade razón donde el antecedente indica el valor del plano y el
consecuente el valor de la realidad. Por ejemplo la escala 1:500, significa que 1 cm del plano
equivale a 500 cm en la realidad.

fig 3. Plano casa a escala

2.- Teorema de Pitágoras
Conceptos previos:
– Se dice que un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos mide 90º
– En dicho caso, los lados que forman el ángulorecto pasan a llamarse catetos del
triángulo, y el lado opuesto al ángulo de 90, que además es el lado de mayor longitud del
triángulo pasa a llamarse hipotenusa del triángulo.
Entonces, el teorema de Pitágoras nos dice que:
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
hip 2=cat 2cat 2

fig 4. Ejemplo teorema de Pitágoras

Siconsideramos un triángulo rectángulo de lados a, b y c, donde a es la hipotenusa se
verificará por tanto que:
a 2=b2c 2 por lo que consecuentemente se tiene que a=  b 2c2
Para finalizar este apartado, aquí podemos ver una demostración geométrica del teorema:

fig 5. Demostración gráfica

3.- Polígonos y áreas
Una linea poligonal es un conjunto de segmentos concatenados, (cada uno empiezadonde acaba el anterior), y pueden ser: abiertas o cerradas.

Fig. 6.- linea poligonal abierta
La superficie contenida por una línea poligonal cerrada se llama polígono (por
ejemplo: cuadrados, triángulos, pentágonos...)
Los polígonos pueden ser:
• Convexos: todos sus ángulos interiores son
menores de 180º.
• Cóncavos: algunos de sus ángulos interiores son
mayores de 180º.TRIÁNGULOS:
Un triángulo es un polígono de tres lados. Sus elementos característicos son: lados, base,
altura, vértices y ángulos. La suma de sus ángulos interiores es 180º
Los triángulos se pueden clasificar según sus ángulos en:
• Acutángulos: los tres ángulos agudos.
• Rectángulos: un ángulo recto y dos agudos.
• Obtusángulos: un ángulo obtuso y dos agudos.
Según sus lados se clasifican en:
•Equiláteros: los tres lados iguales.
• Isósceles: dos lados iguales y uno distinto.
• Escalenos: los tres lados distintos.

Rectas y puntos notables del triángulo
En un triángulo se definen cuatro tipos de rectas denominadas, genéricamente, rectas
notables. Esas rectas son:
• Mediatrices: rectas perpendiculares a cada uno de los lados por su punto medio.
• Bisectrices: rectas que dividen...