Resumen Propiedades Numeros Reales

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
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Presentación Axiomática de los Reales
Axiomas de Cuerpo: Se postula la existencia de un conjunto denotado por \ , cuyos
elementos se llaman números reales, que está provisto de dos operaciones,una adición y
una multiplicación que satisfacen:
A1)

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c , ∀a, b, c ∈ \

A2)

a + b = b + a , ∀ a, b ∈ \

A3)

Existe 0 ∈ \ tal que a + 0 = a,

A4)

Para cada elemento a ∈ \ existe un elemento b ∈ \ tal que a + b = 0

M1)

a ⋅( b ⋅c

M2)

a ⋅ b = b ⋅ a , ∀ a, b ∈ \

M3)

Existe 1∈ \ , 1 ≠ 0 , tal que a ⋅1 = a, ∀ a ∈ \

M4)

Para cada elemento a ∈ \ , no nulo, existe unelemento c ∈ \ , tal que

)=(

a ⋅ b) ⋅ c ,

∀a ∈ \

∀ a , b, c ∈ \

a⋅c =1

a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c , ∀ a , b, c ∈ \

D)
Definición:

a − b = a + ( −b

)

,

∀ a, b ∈ \

a
= a ⋅ b −1 , ∀ a, b ∈ \, b ≠ 0
b
Consecuencias de los axiomas de cuerpo de \
1.-

Unicidad del 0 y del 1

2.-

Unicidad de los opuestos e inversos.

3.-

a+c =b+c ⇔ a =b

4.-

c ≠ 0, a ⋅ c = b ⋅ c ⇔ a = b

5.-

( −1) ⋅ a= −a

6.-

− ( −a ) = a

( − a ) ⋅ ( −b ) = a ⋅ b

7.-

( − a ) ⋅ b = a ⋅ ( −b ) = − ( a ⋅ b ) ;

8.-

Si a ≠ 0, la ecuación a ⋅ x + b = c tiene solución única en \ .

9.-

−(a + b

) = ( − a ) + ( −b ) = − a − b

10:-

−(a + b

) = − a − b , − ( a − b ) = −a + b

11.-

a ⋅b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0

12.-

Si a ≠ 0 , entonces

13.-

Si a, b ≠ 0, entonces

14.-

Si b, d ≠ 0 ,

a c
= ⇔ a⋅d = b⋅c
b d15.-

Si b, c ≠ 0 ,

a a ⋅c
=
b b⋅c

16.-

Si c ≠ 0,

a b a±b
± =
c c
c

17.-

Si b, d ≠ 0,

a c a ⋅c
⋅ =
b d b⋅d

18.-

Si b, c, d ≠ 0,

19.-

Si b, d ≠ 0 ,

(a )
−1

−1

=a

(a ⋅ b)

−1

= a −1 ⋅ b −1

a c a d
÷ = ⋅
b d b c
a c a ⋅d ± b⋅c
± =
b d
b⋅d

Axiomas de Orden
Postulamos la existencia de un subconjunto IP de \ , cuyos elementos llamaremos
números positivos, que verifica:
O1)

∀ a, b ∈ \,a, b ∈ IP ⇒ a + b ∈ IP

O2)

∀ a, b ∈ IR, a, b ∈ IP ⇒ a ⋅ b ∈ IP

O3)

Dado a ∈ \ , se verifica una y sólo una de las alternativas:

a ∈ IP, a = 0, −a ∈ IP
Definición.-

Dados a, b ∈ \ ,

a < b ⇔ b − a ∈ IP
a≤b ⇔ a a>b ⇔ b a≥b ⇔ b≤a

Consecuencias de los axiomas de orden:
1.-

∀ a∈\ ,

a > 0 ⇔ a ∈ IP

2.-

∀ a∈\

a < 0 ⇔ −a > 0

3.-

Para cada a ≠ 0,

4.-

Para a, b, c ∈ \ ,

a ⇒a b
5.-

Para a, b, c ∈ \ ,

a
6.-

Para a, b, c, d ∈ \,

7.-

Para a, b, c ∈ \, c > 0,

a < b ⇔ a ⋅c < b⋅c

8.-

Para a, b, c ∈ \, c < 0,

a < b ⇔ a ⋅c > b⋅c

9.-

a > 0 ⇔ a −1 > 0 ;

a < 0 ⇔ a −1 < 0

10.-

a ⋅ b > 0 ⇔ ∨

11.-

a ⋅b < 0 ⇔  ∨

12.-

Para a, b > 0 ,







a2 > 0 .

(a > 0
(a < 0
(a > 0
(a < 0

En particular, 1 > 0 .

a < b

 ⇒ a+c < b+d

c < d

∧ b> 0)

∧ b < 0)

∧ b < 0)

∧ b > 0)

a < b ⇔ a −1 > b −1

Definición de Intervalos.Si a, b ∈ \ , a < b, se definen los intervalos:

 a, b  = { x ∈ IR : a < x < b }
 a, b  = { x ∈ IR : a ≤ x ≤ b }
 a, b  = { x ∈ IR : a ≤ x < b }
 a, b  = { x ∈ IR : a < x ≤ b }
 a, +∞  = { x ∈ IR : x > a }
 a, +∞  = { x ∈ IR : x ≥ a }
 −∞, a  = { x ∈ IR : x < a }
 −∞, a  = { x ∈ IR: x ≤ a }
Consideramos la correspondencia entre el conjunto de los números reales y los puntos de
una recta, mediante la elección de un sistema coordenado en la recta.Valor Absoluto.Definición Geométrica.- Si a es un elemento de \ , su valor absoluto, a , se define
como la distancia del punto de coordenada a al origen del sistema.
Definición.-

Si a ∈ \ , definimos:

 a , si a ≥ 0

a =

−a,

Propiedades del Valor Absoluto.1.-

a ≥ 0 , ∀a∈\

2.-

∀a ∈ IR, a = 0 ⇔ a = 0

3.-

∀a ∈ IR, −a = a

4.-

∀ a , b ∈ \,

a ⋅b = a ⋅ b

si a < 0

a
a
=
b
b

5.-

∀a, b ∈ \, b ≠ 0,

6.-

∀a, b ∈ \,

a±b ≤ a + b

7.-

∀a, b ∈ \,

a − b ≤ a±b

8.-

∀ a, b ∈ \,

a = b ⇔ a = b ∨ a = −b

9.-

Si c > 0 , entonces ∀ x ∈ \ :

x = c ⇔ x = c ∨ x = −c

x < c ⇔ −c < x < c
x > c ⇔ x > c ∨ x < −c
Los Números...

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