Root locus

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Análisis del lugar geométrico de las raíces

La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Los polos en lazo cerrado son las raíces de laecuación característica. W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar geométrico de las raíces, y en él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. Observe que el parámetro es, por lo general, laganancia la cual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de transferencia en lazo abierto.

Sea el siguiente sistema de control

La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son

G (s) =

K s ( s + 4)

C (s) R (s)

=

K s + 4s + K
2

La ecuación característica de lazo cerrado

s 2 + 4s + K = 0
Las raíces de laecuación característica o polos de lazo cerrado son

s1 , s2 = −2 ± 4 − K

K
0 1 2 3 4 5 8 13

s1
-4 -3.732 -3.414 -3 -2 -2-i -2-2i -2-3i

s2
0 -0.267 -0.585 -1 -2 -2+i -2+2i -2+3i

Lugar geométrico de las raíces

De la grafica: El sistema es estable si K > 0 , dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo del plano s . Respuesta transitoria 1. Sobreamortiguada (ζ > 1)(Polos reales y diferentes)

0< K 4
4. Sin amortiguamiento (ζ = 0 ) (Polos imaginarios) No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta.

Gráfica del lugar geométrico de las raíces
Considere el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es

C (s) R (s)

=

1+ G (s) H (s)

G (s)

La ecuación característica de este sistema es1+ G (s) H (s) = 0
o bien

G ( s ) H ( s ) = −1

El término G ( s ) H ( s ) es un cociente de polinomios en s . Como G ( s ) H ( s ) es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ángulo Condición de ángulo

∠G ( s ) H ( s ) = ±180º ( 2k + 1)
Condición de magnitud

( k = 0,1, 2,…)

G (s) H (s) = 1

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como lasde magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.

Magnitud yÁngulo en el plano s. Por ejemplo Si G ( s ) H ( s ) es

en donde − p2 y − p3

( s + p1 )( s + p2 )( s + p3 )( s + p4 ) son polos complejos conjugados, el ángulo de G ( s ) H ( s )

G (s) H (s) =

K ( s + z1 )

es

∠G ( s ) H ( s ) = ∠ ( s + z1 ) − ∠ ( s + p1 ) − ∠ ( s + p2 ) − ∠ ( s + p3 ) − ∠ ( s + p4 ) ∠G ( s ) H ( s ) = φ1 − θ1 − θ 2 − θ 3 − θ 4

3

La magnitud de G ( s ) H (s ) para este sistema es

G (s) H (s) =

K s + z1 s + p1 s + p2 s + p3 s + p4

G (s) H (s) =

K B1 A1 A2 A3 A4

4

Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces.
1 Inicio y final de las trayectorias Las trayectorias del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto G ( s ) H ( s ) con K = 0 y terminan en los ceros de G ( s ) H ( s ) oen el infinito (ceros finitos o ceros en infinitos) con K = ∞ . 2 Trayectorias sobre el eje real: Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Existen trayectorias sobre el eje real si la cantidad total de polos y ceros reales de G ( s ) H ( s ) a la derecha de un punto de prueba es impar. Ubicación de los ceros...
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