Russell

Paradoja de Russell
La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell en 1901, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege escontradictoria.
La paradoja en términos de conjuntos
Supongamos un conjunto que consta de elementos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito es el que supone un conjunto que consta de "ideasabstractas". Dicho conjunto es miembro de sí mismo porque el propio conjunto es una idea abstracta. Otro ejemplo sería una bolsa con bolsas dentro. Por otro lado un conjunto que consta de "libros" no esmiembro de sí mismo porque el conjunto en sí no es un libro. Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de sí mismos (es decir, aquelconjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están incluidos en sí mismos, como el de "libros" en el ejemplo anterior) forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de símismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo
Enunciado formalde la paradoja
Llamemos  al "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros". Es decir

Según la teoría de conjuntos de Cantor, la ecuación (1) se puede representarpor

es decir "Cada conjunto es elemento de  si y sólo si no es elemento de sí mismo".
Ahora, en vista de que  es un conjunto, se puede substituir  por  en la ecuación (2), de donde se obtiene

Esdecir que  es un elemento de  si y sólo si  no es un elemento de , lo cual es absurdo.






La paradoja en términos del barbero
La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términosmás cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero que se puede enunciar de la siguiente manera:
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en...