sc3b3lidos

Cálculo II
Volúmenes de Sólidos
M. en C. Ricardo Romero
Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A

Grupo CTG87 Trimestre 11-P

M. en C. Ricardo Romero (CBI)

Volúmenes de Sólidos

Grupo CTG87 Trimestre 11-P

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15

Programa

1

Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales
Secciones transversales elementales

2

Volúmenes de sólidos de revolución
Método de los discos

M. en C. RicardoRomero (CBI)

Volúmenes de Sólidos

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Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales

Secciones transversales elementales

Rebanar mediante planos paralelos

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Volúmenes de Sólidos

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Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales

Secciones transversales elementales

Volumen de lak-ésima rebanada≈ A (xk ) ∆xk
n

V≈

∑ A (xk ) ∆xk

k=1

n

b

V = limx→∞ ∑ A (xk ) ∆xk =
k=1

M. en C. Ricardo Romero (CBI)

A(x)dx
a

Volúmenes de Sólidos

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Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales

Secciones transversales elementales

Volumen de la k-ésima rebanada≈ A (xk ) ∆xk
n

V≈

∑ A (xk ) ∆xk

k=1

n

b

V = limx→∞ ∑ A (xk ) ∆xk =
k=1

M.en C. Ricardo Romero (CBI)

A(x)dx
a

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Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales

Secciones transversales elementales

Volumen de la k-ésima rebanada≈ A (xk ) ∆xk
n

V≈

∑ A (xk ) ∆xk

k=1

n

b

V = limx→∞ ∑ A (xk ) ∆xk =
k=1

M. en C. Ricardo Romero (CBI)

A(x)dx
a

Volúmenes de Sólidos

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4/
15Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales

Secciones transversales elementales

Volumen de la k-ésima rebanada≈ A (xk ) ∆xk
n

V≈

∑ A (xk ) ∆xk

k=1

n

b

V = limx→∞ ∑ A (xk ) ∆xk =
k=1

M. en C. Ricardo Romero (CBI)

A(x)dx
a

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Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales

Secciones transversales elementales

Elvolumen de un sólido con área de sección transversal integrable
A(x), desde x = a hasta x = b está dado por la integral
b

V=

A(x) dx
a

Hacer un esquema del sólido y una sección transversal representativa.
Determinar una fórmula para A(x).
Determinar los límites de integración.
Integrar A(x) para encontrar el volumen.

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Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales

Secciones transversales elementales

El volumen de un sólido con área de sección transversal integrable
A(x), desde x = a hasta x = b está dado por la integral
b

V=

A(x) dx
a

Hacer un esquema del sólido y una sección transversal representativa.
Determinar una fórmula para A(x).
Determinar los límites de integración.
IntegrarA(x) para encontrar el volumen.

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Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales

Por triángulos semejantes
A(x) = s 2 =

Secciones transversales elementales

x
s/2
s
Lx
=
= , entonces s =
y
h L/2 L
h

L2 2
x . Por lo tanto
h2
h L2

h

V=

A(x) dx =
0

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0

h

x 2 dx =
2L2 x 3
h2 3

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h

=
0

L2 h 3 L2 h
=
h2 3
3

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Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales

Secciones transversales elementales

Se obtiene una cuña cortando un cilindro circular recto de radio 4 por
medio de dos planos. Un plano es perpendicular al eje del cilindro y el otro
intersecta al primero a un ángulo de 30◦ a lo largo deldiámetro del
cilindro. Encontrar el volumen de la cuña.

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Cálculo de volúmenes a partir de secciones transversales

Secciones transversales elementales

√
La base de la cuña es un semicírculo con ecuación y = 16 − x 2
y |BC |
La sección transversal es un triángulo recto con área
2
|BC
|
De la sección...