schrodinger

1

Soluciones a la ecuación de Schrödinger
(Casos típicos)

1 Partícula libre (potencial cero o constante)
El potencial correspondiente al movimiento libre de una partícula es una constante (F (x) =
= 0) que, sin pérdida de generalidad, puede escogerse igual a cero

@V
@x

(1)

V (x) = 0
La ecuación estacionaria de Schrödinger toma entonces la forma siguiente:
~2 d2
= E (x)
2mdx2
y recordemos que la función de onda tiene la forma

(2)

E

(x; t) = (x) e i ~ t = e i!t
(3)
Dadas las características del potencial, tendremos soluciones aceptables para cualquier valor no
negativo de la energía (E 0). Una solución para la ecuación (2) puede escribirse como sigue:
(x) = Aeikx + Be

(4)

ikx

p

con A y B constantes arbitrarias y k = 2mE . Es muy fácilmostrar que esta función satisface
~
la ecuación (2), sólo basta sustituirla en ella para convencernos. Considerando que son dos las
constantes arbitrarias, esta función es una solución general a la ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden (2).
Vamos a considerar el caso en el que una de las constantes es cero, digamos B. La función de
onda tendrá entonces la forma
(x; t) = Aeikx e
lacual también puede escribirse como sigue:
(x; t) = A cos (kx

i!t

= Aei(kx

(5)

!t)

!t) + iA sin (kx

(6)

!t)

Esta función de onda representa una onda viajera cuya frecuencia angular es ! =
sus nodos se
!
E
mueven a la derecha con velocidad w = ~ = ~k . La densidad y el ujo de probabilidad son:
E
,
~

(x; t) =

(7)

=A A

y
@
i~
2m
@x
i~
A e i(kx
=
2m
i~=
2ikA A
2m
~k
=
AA
m

@
@x

j (x; t) =

!t)

ikAei(kx

!t)

Aei(kx

!t)

( ik) A e

i(kx !t)

(8)

2

y utilizando el postulado de De Broglie, ~k = p = mv, entonces
(9)

j (x; t) = v (x; t)

Observamos que tanto la densidad de probabilidad como el ujo de probabilidad son constantes.
Observamos también que el momento lineal de la partícula se conoceperfectamente, pero su ubicación queda inde nida.
Si ahora tomamos A = 0, la función de onda será
(x; t) = Be

(10)

i(kx !t)

de donde obtenemos
(11)

(x; t) = B B
y

~k
B B
(12)
m
El signo de j (x; t) nos indica la dirección de movimiento de la partícula, la cual es contraria a la
obtenida en el caso de B = 0.
Si ahora intentamos obtener A ó B mediante la normalización de (x; t)encontramos que
Z 1
Z 1
Z 1
dx =
A Adx = A A
dx
j (x; t) =

1

1

1

Como vemos, esta integral diverge, a menos que A = 0. Esto nos da idea de que la función (5)
o la (10) describen una situación física ideal de una partícula que se mueve en un haz de longitud
in nita y cuya coordenada x está completamente inde nida.
Para tener una descripción más realista habríamos de considerar,más bien, un grupo de ondas
de longitud nita.
Sin abundar en detalles, este grupo se construye con las siguientes expresiones:
1
X
An n (x; t)
(13)
(x; t) =
n=1

con

p

2mEn
(x; t) = e
y
kn =
~
Una forma de obtener las constantes An sería la siguiente (para partícula libre):
Z 1
0
An =
(x0 ; 0) dx0
n (x )
n

donde

i(kn x ! n t)

1

(14)

!
(x x)2 ipx0
(x0 ; 0) =2 ( x)2 exp
~
4 ( x)2
En tanto no sea necesario, seguiremos trabajando con la forma límite ya obtenida ( x ! 1).
Muchos de los resultados que obtengamos serán independientes de las constantes A ó B y sólo
dependerán de cocientes de ellas.
Algo que sí conviene considerar es la construcción de ondas estacionarias. Para esto considere1
4

3

mos el caso en el que B =

A, de modo que lafunción queda así:
(x; t) = A eikx

e

e

i!t

x e

i!t

ikx

= 2iA sin kxe i!t
= A0 sin kxe i!t
Si ahora tomamos B = A obtenemos
(x; t) = B eikx

e

ik

= 2B cos kxe i!t
= B 0 cos kxe i!t
Una solución más general sería una combinación lineal de estas dos funciones:
(x; t) = (A0 sin kx + B 0 cos kx) e

i!t

(15)

o bien
(x; t) =

(x) e

i!t

con
(x) =...