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Pr´ctica 7 a

Ley de Gravitaci´n Universal de o Newton
7.1. Introducci´n o

En esta pr´ctica damos al alumno un gui´n y una relaci´n de referencias para que con su a o o trabajo personal, que estimamos de 10 horas, realice un peque˜o estudio e investigaci´n que le n o permita dominar los fundamentos b´sicos de la Ley de Gravitaci´n Universal. a o Es muy recomendable que el alumno estudie yhaga los ejemplos de aplicaci´n que se dan en esta o pr´ctica porque ser´n objeto de examen en el control asociado a esta pr´ctica. Con la asimilaci´n a a a o correcta de los contenidos escritos que aqu´ se exponen queda garantizada, al menos, la superaci´n ı o del 80 % de los contenidos del control. Se aconseja al alumno que utilice ([EP], secciones 5.1 y 6.4) y ([Gu], cap´ ıtulo 1) comoreferencias bibliogr´ficas de apoyo a lo aqu´ expuesto. a ı

7.2.

Leyes de Kepler y de Gravitaci´n o

De acuerdo con la ley de gravitaci´n de Newton un sat´lite de masa mS se encuentra atra´ o e ıdo hacia la Tierra con una fuerza FS cuya magnitud es directamente proporcional al producto de las masas de la Tierra, mT , y del sat´lite e inversamente proporcional cuadrado de la distancia entre e ellos:FS = G mT · mS r · |r|2 |r| y , an´logamente, a FT = G mT · mS −r · |r|2 |r| (7.1)

donde G es la constante de gravitaci´n y r = pT − pS el vector diferencia entre la posici´n de la Tieo o rra, pT = (xT (t), yT (t), zT (t)), y la posici´n del sat´lite, pS = (xS (t), yS (t), zT (t)) . En consecuencia, o e se verifica (ES ) : mS pS = G mT mS r + mS gS ; |r|2 |r| (ET ) : mT pT = G mT mS −r + mT gT|r|2 |r| (7.2)

para gS , gT las aceleraciones a las que se ven sometidas la Tierra y el sat´lite por acci´n de la e o atracci´n del resto del Universo. Podemos suponer que gS = gT = gU ya que la distancia Tierra– o sat´lite la consideramos insignificante frente a las distancias de la Tierra y cualquier objeto celeste e distinto de sus sat´lites. De las dos igualdades anteriores se obtiene: e 5758

´ ´ PRACTICA 7. LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL DE NEWTON 1. Si denotamos por M = mT + mS la masa del sistema Tierra–sat´lite, la ecuaci´n (ES ) + (ET ) e o 1 nos dice que la posici´n pC = M (mS pS + mT pT ) del centro de masas Tierra–sat´lite verifica o e pC = gU de lo que se deduce que la acci´n de atracci´n del Universo sobre el sistema Tierra– o o sat´lite recae sobre el centro de masaspC . e 2. La igualdad mS · (ET ) − mT · (ES ) toma la expresi´n: o mT mS (mT + mS ) r |r|3

mT mS r = −G y tambi´n e

(7.3)

 G·M  X (t) = −  X(t)   (X 2 (t) + Y 2 (t) + Z(t)2 )3/2     G·M Y (t) = − 2 Y (t)  (X (t) + Y 2 (t) + Z(t)2 )3/2      G·M  Z (t) = −  Z(t) 2 (t) + Y 2 (t) + Z(t)2 )3/2 (X para X = xS − xT , Y = yS − yT y Z = zS − zT .

(7.4)

3. La ´rbita decualquier sat´lite queda determinada completamente sabiendo dos datos, a saber: o e la posici´n y la velocidad inicial. Esto se deduce de que el anterior sistema de ecuaciones o diferenciales es de orden dos. La soluci´n exacta del sistema de ecuaciones diferenciales anterior es bien conocida, ver la o secci´n 5.1 de [EP]: En las coordenadas polares (ρ, α) asociadas al plano orbital que contiene a oambos planetas y centradas en uno de ellos, se verifica: ρ(α) =
2 4va /(G · M ) 1 + cos(α + α0 )

(7.5)

Mejor conocida a´n que esta ecuaci´n resultan las leyes f´ u o ısicas que describen el movimiento y que son conocidas como las Leyes de Kepler y que afirman, que respecto al sistema de referencia centrado en la Tierra (en realidad fueron enunciadas para el Sol y los planetas) se verifica: Primeraley de Kepler: La ´rbita que describe un sat´lite es una c´nica de excentricidad o e o Tierra uno de sus focos. Segunda ley de Kepler: La velocidad areolar del movimiento del sat´lite, va , es constante. e Tercera ley de Kepler: El cuadrado del periodo de circunvalaci´n del sat´lite es proporcional al o e cubo del semieje mayor de su ´rbita. Para ser m´s precisos, se verifica: o a 4π 2 D3 G·M y...