Señales i sistemas

´ ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES
Ricardo A. Rojas Mario E. Salgado Juan I. Yuz1

´ ESTE ES UN BORRADOR SUJETO A NEGOCIACION EDITORIAL. SU RE´ SOLO PUEDE SER AUTORIZADA POR LOS TRES AU´ PRODUCCION TORES. Versi´n 11 de septiembre de 2003. o

Valpara´ ıso, Marzo 2002
1 Departamento de Electr´nica o Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa Valpara´ CHILE ıso,

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sistema|textbf KalmanRouth Bode Nyquist

Prefacio
La noci´n de sistema resulta sumamente poderosa para la descripci´n, analo o isis y dise˜o tanto en ingenier´ como en otras areas, principalmente porque n ıa ´ permite describir en forma abstracta un fen´meno en base al objetivo que el o observador/ingeniero en requiera en cada caso particular. En este texto abordamos el an´lisis de un tipo particular de sistemas,aquea llos llamados lineales. Esta propiedad, si bien no es com´n en sistemas f´ u ısicos reales, permite hacer uso de una gran gama de herramientas de an´lisis matem´tico, a a que han demostrado ser de gran utilidad, a pesar de las simplificaciones inherentes involucradas en la representacion lineal de los sistemas. La teor´ de los sistemas lineales tuvo un r´pido crecimiento y sostenida conıa asolidaci´n desde mediados del siglo veinte. Este desarrollo fue sustentado por o el trabajo pionero de Bode, Routh, Nyquist, Kalman y muchos otros investigadores. Ellos construyeron, a su vez, sobre la teor´ matem´tica existente de ıa a los siglos pasados en areas tan diversas como, por ejemplo, el c´lculo diferencial ´ a e integral de Newton, las ecuaciones diferenciales y la teor´ de funciones deıa variables complejas. M´s adelante, el desarrollo y expansi´n de la tecnolog´ digital ampliaron el a o ıa campo de los sistemas lineales hacia los sistemas que operan en tiempo discreto. Nuevas herramientas matem´ticas debieron entonces incorporarse al estudio de a los sistemas lineales. Un aspecto de especial relevancia es no perder de vista que el inter´s de e la Ingenier´ en los sistemaslineales est´ ligado a la posibilidad de emplearlos ıa a como modelos suficientemente precisos para describir sistemas reales. El estudiante debe ser advertido al inicio del curso sobre el problema subyacente de fidelidad de la representaci´n final, y el tema debe ser reiterado a lo largo del o mismo. Tambi´n es necesario enfatizar que los sistemas reales no son lineales y e que la p´rdida de precisi´nal modelarlos como sistemas lineales es usualmente e o compensada por el traslado del problema a un campo dotado de herramientas matem´ticas. Por otro lado, es conveniente enfatizar que existen sistemas a reales, incluso muy b´sicos como aquellos con dispositivos de conmutaci´n, que a o simplemente no pueden ser modelados como sistemas lineales. Si bien la teor´ de los sistemas lineales tiene uninter´s en si misma como ıa e objeto de estudio matem´tico, en este libro el enfoque es distinto, m´s orientado a a al estudiante de ingenier´: se trata de estudiar esta teor´ como un sost´n para a ıa e el an´lisis, la s´ a ıntesis y el dise˜o de sistemas de procesamiento de se˜ales, de n n iii

iv sistemas de control autom´tico, sistemas econ´micos, entre otros. El prop´sito a o o es que ellector, sin abandonar ni menospreciar el rigor requerido por esta teor´ ıa, la conciba como una herramienta para entender, analizar y resolver problemas asociados a fen´menos y sistemas en ingenier´ Esto nos parece necesario con el o ı. fin de evitar la frecuente confusi´n entre los estudiantes de ingenier´ que lleva o ıa, a subvertir los roles del problema y la herramienta, y centrar su atenci´n enel o rigor matem´tico m´s que en los conceptos y la interpretaci´n de los resultados a a o de la teor´ de los sistemas lineales. ıa Pensamos tambi´n que este ´nfasis en los conceptos m´s que en la utiler´ e e a ıa matem´tica debe reflejarse en el esfuerzo que se pide a los estudiantes que estua dien el tema. Con este objeto, nos parece fundamental el uso extensivo de paquetes de software para...