señales de ecuacion

apuntes señales
Suponga
un
sistema
descrito
por
la
siguiente
relaci
ó
n
donde los coeficientes ai y bi son constantes reales y N > M
Si pensáramos en el diagrama de bloques, parecería lógico suponer que necesitamos 3
bloques: Sumador, mu
ltiplicador por constante y diferenciador. El problema es que
este último elemento es difícil de realizar en forma práctica. Lo que se hace esconvertir la ecuación diferencial en una ecuación integral.
Definamos y
[N-k]
(t) como la N-ésima integral de la k-ésima derivada de y.
Supongamos , para simplificar que M=N. Al integrar la ecuación original N veces de
cada lado, tendremos:
Esto lleva al siguiente diagrama en bloques, para b
N
= 1:
Figura Nº 3.3
En general si uno tiene una ecuación diferencial con coeficientes constantes,y se
quiere determinar la salida y(t) el procedimiento será el siguiente:
1) Se determina la solución a la homogénea llamada y
h
(t)
2) Se determina la solución a la particular llamada y
p
(t)
3) La salida será y(t) = y
h
(t) + y
p
(t). Las constantes que aparecen en las soluciones
generales se consiguen sustituyendo y(t) en la ecuación original, y aplicando
condiciones iniciales:Página 10
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Suponga un sistema LIT de tiempo continuo definido como:
Resolvemos primero la homogénea. Es decir la siguiente ecuación:
Esto se resuelve de la siguiente forma:
Se asume una solución del tipo
Se sustituye en la ecuación homogénea quedando, luego de factorizar:
La solución no trivial es aquella que cumple
Se buscan las N raíces rk
La solución a la homogénea será lasuperposición de soluciones asignadas a cada raíz
dependiendo de su tipo. Así:
Por cada raíz real ri simple se asigna una solución del tipo
Por cada raíz real ri de multiplicidad p, se asignan m secuencias del tipo
Por cada par de raíces complejas (a ± jb) , se asignan soluciones del tipo
Por cada par de raíces complejas (a ± jb) de multiplicidad p, se toman
soluciones del tipo:
Lascondiciones iniciales perm
itirán determinar las constantes de peso de
cada solución.
E
j
em
p
lo: Determine la soluc
i
ón de la si
g
uiente ecuac
i
ón:
4.
3.
2.
1.
4.
3.
2.
1.
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jp
g
y'''- y'' + y' -y =0
La ecuación característica a resolver será:
Las raíces de esta ecuación resultan ser j, -j, 1.
Por lo tanto la solución será:
3.1.2.1.- SoluciónParticular
Usaremos el método de los coeficientes indeterminados que se puede usar cuando la
excitación es a su vez solución de alguna ecuación homogénea de coeficientes
constantes.
Cuando se tiene una ecuación del tipo
la solución particular es del tipo de x(t) multiplicado por una constante. Así:
- Si x(t) es del tipo
la solución particular tomada será del tipo
- Si x(t) es del tipo
lasolución particular tomada será del tipo
-Si x(t) es del tipo
la solución particular tomada será del tipo
-Si x(t) es del tipo
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la solución particular tomada será del tipo
-Si x(t) es del tipo
La solución particular tomada será del tipo
-Si x(t) es del tipo :
la solución particular tomada será del tipo
Si la excitación produce salidas del mismo tipo que lahomogénea, se aplican las
reglas de raíces múltiples.
Ejemplo:
y'' + y = e
t
La ecuación característica a resolver será:
Las raíces de esta ecuación resultan ser j, -j, . Por lo tanto la solución será:
La solución particular es del tipo
La salida total será:
Al sustituir en la ecuación original:
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Esto indica que C
3
=1/2
Para calcular C
1
y C
2
se necesitan lascondiciones de borde.
Si por ejemplo se cambia la excitación:
y'' + y = Sen(t)
Como la homogénea ya produce Sent y Cost , a la particular le pondremos tSent y
tCost. En ese caso la salida total sería:
Al introducirla en la ecuación original resulta C
4
= 0 y C
3
= -0.5
Si las condiciones iniciales fuesen por ejemplo y(0)= 1, y
'
(0) =0 se encontraría C
1
=1 y
C
2
= 0.5...