Señales Gps

TFG
Gabriel Casado 29 de gener de 2011

´ Index
1 Introducci´ o 2 Aplicaci´ de la teoria dels valors o 2.1 Distribuci´ de Xi . . . . . . . . o 2.2 Estudi asimpt`tic del m`xim . . o a 2.3 Distribucions cua-equivalents . . 2.4 Constants normalitzadores . . . extrems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 . 3 . 8 . 9 . 11 14

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3 Probabilitat de detecci´ del senyal o

1

Cap´ ıtol 1 Introducci´ o
En aquest treball, analitzarem l’estudi estad´ ıstic de la recepci´ d’un senyal o GPS, per tal de donar una soluci´ matem`tica al problema. En la recepci´ o a o del senyal, i despr´s d’algunes transformacions del receptor, obtenim una e variable aleat`ria que s’obt´de la suma del quadrat del m`dul de variables o e o aleat`ries normals complexes, Zk , iid de mitjana nul·la i vari`ncia 2σ 2 , i.e., o a
m m

Xi =
k=1

|Zk | =
k=1

2

2 Ik + Q2 on Ik , Qk ∼ N 0, σ 2 , i=1,...,n (1.1) k

Mitjan¸ant la teoria dels valors extrems estudiarem la llei l´ c ımit del m`xim a d’aquestes variables aleat`ries. o

2

Cap´ ıtol 2 Aplicaci´ de la teoria delso valors extrems
En aquest cap´ ıtol, a la primera secci´ calcularem la distribuci´ suma de o o les va iid Xi corresponent l’equaci´, (1.1). A la segona secci´, estudiarem o o mitjan¸ant la teoria dels valors extrems, el comportament asimpt`tic del c o m`xim de les variables Xi . a

2.1

Distribuci´ de Xi o

Per tal de calcular la distribuci´ de cada variable Xi , i=1,...,n necessitem o unas`rie de resultats que descrivim a continuaci´: e o Definici´ 2.1.1. La funcions gamma, gamma incompleta i gamma ordin`ria o a venen definides per les seg¨ents equacions respectivament: u
∞

Γ(k, x) =
x x

tk−1 e−t dt

γ(k, x) =
0 ∞

tk−1 e−t dt

Γ(k) =
0

tk−1 e−t dt

on x ≥ 0 ´s un nombre real i a ∈ C amb part real positiva. e

3

Definici´ 2.1.2. Una variable X t´distribuci´ ji quadrat amb k graus de o e o llibertat, i la denotem per χ2 (k), si la seva funci´ de densitat ve donada per o f (x) = x
k−2 2 k

e− 2
k 2

x

22 Γ

si x ≥ 0

i la seva funci´ de distribuci´ ´s o oe F (x) = γ k, x 2 2 si x ≥ 0 Γ k 2

Definici´ 2.1.3. Donada una variable aleat`ria X la seva funci´ caraco o o ter´ ıstica ´s e
∞

ϕX (t) = E eitX =
−∞

eitx fX (x) dx

on ϕX(t) : R −→ C Teorema 2.1.4. Suposem que g ´s una funci´ que compleix que existeixen e o I1 , ..., In intervals oberts disjunts dos a dos de manera que gi : Ii −→ Ji (amb Ji intervals oberts) s´n difeomorfismes. o Suposem que X ´s una variable aleat`ria absolutament cont´nua tal que e o ı P {X ∈ I1 ⊂ ... ⊂ In } = 1 aleshores Y = g(X) ´s una variable aleat`ria e o absolutament cont´nua i la sevafunci´ de densitat ve donada per ı o
n −1 −1 fx gi (y) (gi ) (y) i=1

La demostraci´ d’aquest teorema la podem trobar a [?] de la bibliografia. o Lema 2.1.5. Si X ∼N(0,1) aleshores X 2 t´ distribuci´ ji quadrat amb k = 1 e o graus de llibertat.

4

Demostraci´ 2.1.6. Sabem que la funci´ de densitat d’X ´s: o o e e− 2 fX (x) = √ 2π Denotem per Y = X 2 . Com que g(x) = x2 no ´s una funci´bijectiva sobre R, considerem les e o seg¨ents funcions: u g1 : (−∞, 0) −→ (0, ∞) x −→ x2 g2 : (0, ∞) −→ (0, ∞) x −→ x2 Com podem observar g1 i g2 s´n bijectives i de classe C 1 . o Tenim que les inverses de g1 i g2 s´n: o
−1 g1 : (0, ∞) −→ (−∞, 0) √ y −→ − y −1 g2 : (0, ∞) −→ (0, ∞) √ y x −→
x2

Sabem que la probabilitat al punt 0 ´s igual a 0, ie, P {X = 0} = 0 e aleshores P {X ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)}= 1 − P {X = 0} = 1.
−1 −1 Calculem ara les derivades de g1 i g2 :

1 −1 −1 −1 g1 (y) = √ i g2 (y) = √ 2 y 2 y Per tant, la funci´ de densitat de Y ´s: o e
2

fY (y) =
i=1 √ −(− y)2 2

−1 fX gi (y)

−1 gi (y) =

exp =

√

2π

1 √ + 2 y

exp

√ 2π

√ −( y)2 2

exp −y exp −y 1 2 + √ 2 = √ = √ 2 y 2 2yπ 2 2yπ 1 1 , 2 2 ⇒ Y ∼ χ2 (1)

exp −y = √ 2 ⇒ Y ∼ Gamma 2yπ

5...