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Funciones cuadráticas: máximos y mínimos
Definición
Un valor máximo y mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. Estaremos trabajando como hallar losvalores máximos y mínimos de funciones cuadráticas y otras.

Construcción de gráficas de funciones cuadráticas usando la forma estándar
Una función cuadrática es una función f de la formafx= ax2 +bx +c
donde a, b y c son números reales y a≠0.
Si a = 1 y b = c = 0 se obtiene una función cuadrática simple fx= x2 cuya gráfica es una parábola.
Forma estándar de una funcióncuadrática |
Una función cuadrática fx=ax2+ bx+c se puede expresar de la forma estándar fx= ax-h2+ k completando el cuadrado. La gráfica de f es una parábola con vértice (h, k), la parábola seabre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0. x
h
y
k
0
.
x
h
y
k
0
.
vértice (h, k)
vértice (h, k)
fx= ax-h2+ k, a>0 fx= ax-h2+ k, a<0 |Ejemplo: Forma estándar de una función cuadrática

Sea fx= 2x2- 12x+23
a) Exprese f en la forma estándar.
b) Bosqueje la gráfica de f.
Solución:
a) Como que el coeficiente de x2 no es1, se debe factorizar este coeficiente a partir de los relacionados con x antes de completar el cuadrado.
Factorice 2 de los términos en x

fx=2x2- 12x+23
Complete el cuadrado sume 9 dentrodel paréntesis, reste 2∙9 fuera

=2x2- 6x+ 23
=2x2- 6x+9+ 23-2∙9
Factorice y simplifique

=2x-32+ 5La forma estándar es fx=2x-32+ 5.

b) La forma estándar indica que la gráfica de f se obtiene tomando la parábola de y= x2, desplazándola 3 unidades a la derecha, alargándola por un factor de2 y moviéndola 5 unidades a la derecha. El vértice de la parábola está en (3, 5) y la parábola abre hacia arriba. El intercepto y es f0= 23.
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