Sebastian

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Junio 2005, pp. 7-14

Polígonos y estrellas

En este artículo se definen, clasifican y relacionan los conceptos de estrella, polígono estrellado y forma estrellada. El estudio de
estas figuras geométricas se hace en función de su generación a partir de un polígono convexo, dando lugar a diversos métodos
de creación y construcción de estrellas y formas estrelladas.

In this article,several ways of constructing star figures are presented. These have been defined and classified in stars, stars polygons, and star forms. These forms are commonly present in the real life and usually are known as stars. Some methods related to
the creation and construction of star forms generated from convex polygon are presented.

L

a idea inicial del trabajo fue analizar geométricamentelas formas rematadas en puntas cuya presencia es habitual en
el entorno cotidiano y que comúnmente se conocen con el
nombre de estrellas. La presencia de estas formas en la realidad cotidiana es un elemento motivador para el estudio de
contenidos relacionados, por ejemplo, con la geometría de los
polígonos y la trigonometría, además de constatar la utilidad
y aplicación de la Geometría y engeneral de las Matemáticas
a la comprensión del entorno.

Obtención de estrellas con un polígono convexo
Las múltiples acepciones de la palabra estrella hacen necesario definir con claridad este concepto en el ámbito matemático. El diccionario de la Real Academia define “objeto de figura de estrella ya con rayos que parten de un centro común, ya
con un círculo rodeado de puntas”. En lenguajematemático,
denominaremos estrella a la figura obtenida por cualquiera
de los métodos que se describen a continuación.

Conectar vértices
Sea Pn un polígono regular de n lados. Se elige uno de sus vértices y, a partir de él, se trazan segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Este trazado se realiza de manera ordenada y sistemática, en el sentido de dejar sin unir en cada
paso el mismonúmero de vértices.

Figura 1. Estrellas derivadas del eneágono

Inmaculada Fernández Benito
IES María Moliner. Laguna de Duero. Valladolid.

Encarnación Reyes Iglesias
ETS de Arquitectura. Universidad de Valladolid. Valladolid.

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SUMA 49
Junio 2005

Estrella es la figura obtenida cuando todos los vértices del
polígono inicial están conectados.
Una estrella así construida sedenota por n/q, (notación de
Schläfli) donde n es el número de vértices del polígono regular del que procede y q–1 es el número de vértices que se
dejan sin unir en cada paso. Es decir, se unen los vértices Pi y
Pi+q, q = 1,..., n–1, con la identificación Pn Pi+n.

Pitagóricos) y hexagrama (Estrella de David o sello de
Salomón) respectivamente. La primera se identifica a su vez
con laestrella denotada por 5/3 y es un polígono de cinco
lados. La segunda que no es un polígono, está formada por
dos triángulos equiláteros girados 60º uno respecto de otro.
A

1

C

D

Estrella es la figura
obtenida cuando todos los
vértices del polígono inicial
están conectados.

4

6

2

3

E

B

5

Figura 3. Pentagrama (un polígono) y Hexagrama (dos
triángulos)

Con ladefinición, se verifican las siguientes propiedades:
1. Si q = 1, se obtiene el n-polígono inicial.
2. Si no se considera orientación en los segmentos que
unen los vértices, la estrella denotada por n/q coincide
con la n/(n-q). Por tanto, para un polígono regular de
n lados las estrellas distintas que se pueden construir
son: n/1, n/2, n/3,..., n/q con q < n/2.
3. Si n es par, laconstrucción de la estrella n/q con q = n/2
sólo traza segmentos que dividen al polígono en dos
partes de igual área. Ver un ejemplo para n = 8 en la
figura 2.
4. Si n y q son primos entre sí, al construir una estrella se
obtiene un único polígono llamado polígono estrellado. En cualquier otro caso, la estrella no es un polígono, sino que está formada por varios polígonos.

Prolongar lados
Sea Pn...