Secundaria

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
1.- Resuelve en las ecuaciones exponenciales y comprueba los resultados: 1) 52 x 1  25
3 x2  1 4

7)

2x-1+2x-2 +2x-3 +2x-4 =960

2) 3) 4) 5) 6)

4x+1+2x+3 -320=0 32(x+1) -28·3x +3 =0 5x -97·5x/2 +64 =0 10 3-x = 1 22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984

8) 3x +31-x =4 9) 4e -3x -5e -x+ex =0 10) 21x 
2

1 8

11) 2x-1+ 2x +2x+1 = 72.- Resuelve en los sistemas:
x   2 y 1 1)  3  5 x 1  6 y  807 

 15  5 

6

 339

5)  6) 

 lg x  lg y  2 x  y  20 

2)  3)  4) 

 lg x  lg y  3 2 lg x  2 lg y  1

 lg x  lg y  1 x  y  22 
 lg ( y  18)  2  y

lg x  lg y  lg 56  lg 20 lg x  lg y  1  lg 20
lg y (9  x)  1 / 2 lg x ( y  9)  2

7)  x lg ( x  3)  1 / 2y  2 8)  lgx (3  1y)  x 

3  2  2  3  6 

3.- Resuelve en las ecuaciones logarítmicas: 1) (x2-5x+9)lg2+lg125=3 2) lg(22-x)2+x+lg1250=4 3)
lg 2  lg (11  x 2 ) 2 lg(5  x)

6) 3lgx -lg32 =lg(x/2) 7) lg 2 x · lg x 2x · lg 2x y = lg x x2 8) 5 lg  2 lg  3 lg x  lg 9) 2lg x =3 + lg (x/10) 10) lg 3x  1  lg 2 x  3  1  lg 5


x 2

x 3

32 9

4) (x2-4x+7)lg5+lg16=4 5)lg x  x 2  1   lg x  x 2  1   0 ; x  1    
  

ECUACIONES EXPONENCIALES
1.-.Resuelve las ecuaciones exponenciales y comprueba los resultados:
Soluciones Soluciones

1) 52 x 1  25
3

x2  1 4

x1 =1/2 y x2 =1/5 x=3 x1 =1, x2 =-2 x1 =8lg52, x2 =8lg53

7) 8) 9)

2x-1+2x-2 +2x-3 +2x-4 =960*** 3 +3 4e
2

x =10 x1 =0 , x2 =1

2) 4x+1+2x+3 -320=0 3) 32(x+1) -28·3x+3 =0** 4) 5x -97·5x/2 +64 =0**
3-x

x

1-x

=4**
-x x

-3x

-5e +e =0
1 * 8
x1=2, x2=-2 x =1

10) 21x 

5) 10 = 1* 6) 22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984

x=0 x=5

11) 2x-1+ 2x +2x+1 = 7***

Resolución:
1) 5
2 x 1

 25

3

x2  1 4

5

2 x 1

x2  1

 25

4

3

5

2 x 1

 5

 
2

x2  1
3

4

5

2 x 1

x2  1 23 4 5

x2  1 4   2x 1  2  3

1

3  2 x  1  2  x 2  1  6 x  3  2  x 2  1  12x  6  4 x 2  1  4 x 2  12 x¡5  0  x  1 ó x  5 4 2 2 2
Existen dos soluciones, x1 =1/2 y x2 =1/5





*De forma análoga se resuelven los ejercicios 5) y 11).
2)

4x+1+2x+3 -320=0  (22)x+1 +2x ·23 –320 =0 22x+2 +2x ·23 –320 =0  22x ·22 +2x ·23 –320 =0 22x ·22 +2x ·23 –320 =0 4·22x +8·2x –320 =0
Realizamos el cambio 2x =t, con lo que 22x =(2x)2 =t2 Existe una única solución real: x =3
  t  8  2x 4t2 +8t-320=0  t2 +2t –80 = 0  1  t 2  10  2 x 

**De forma análoga se resuelven los ejercicios 3) , 4) y 8).
6) 22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984  22x+22x ·2 -1 +22x ·2 -2 +22x ·2 -3 +22x ·2 -4=1984 
22x 22x 22x 22x 22x 22x 22x 22x  2  3  4 1984  2 2 x      1984 2 2 4 8 16 2 2 2 t t t t t      1984  16t  8t  4t  2t  t  1984 16  31t  1984 16  t  64 16  2 6  2 4  210 2 4 8 16 Realizamos el cambio 22x =, t 22x 

t=22x =210 2x=10  x = 5

***De forma análoga se resuelven los ejercicios 7) y 11).
4 5   ex  0 e3x e x Realizamos el cambio ex =t, con lo que t e3x =t3, y resolvemos la ecuación: 4 5   t 0  4  5t 2  t 3  0  t 3  5t 2  4  0  (t  1) (t 2  4t  4)  0 t3 t

9) 4e

-3x

-5e +e =0

-x

x



Las soluciones de esta ecuación son: t1  1, t 2  2  2 2 , t 3  2  2 2 De donde obtenemos dos soluciones reales de la ecuación dada:
t1  1  e x  x 1  0; t 2  2  2 2  e x  x 2  ln 2  2 2 ; t 3  2  2 2  2 x no tiene solución real .





SISTEMASEXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS
2.- Resuelve en los sistemas:
Soluciones
x   2 y 1 1)  3  5 x 1  6 y  807 

Soluciones

 15  5 

6

 339

x=3, y=2

5)  6) 

 lg x  lg y  2 x  y  20 

x=10+101/2, y=-10+101/2

2)  3)  4) 

 lg x  lg y  3 2 lg x  2 lg y  1

x=105/4, y=107/4

 lg x  lg y  1 x  y  22 
 lg ( y  18)  2  y

x=20, y=2...