Seguna Cuantización

Universidad de La Habana. Facultad de Física. Departamento de Física Teórica. Notas de Estadística Cuántica. Carlos Rodríguez Castellanos.

Tema 2. Cuantificación secundaria.
2.1 Principio de indistinguibilidad de partículas idénticas y sus consecuencias.
Se denomina partículas idénticas a aquellas que poseen igual masa, carga eléctrica, espín y
otras propiedades intrínsecas. Por ejemplo,son idénticos entre sí los electrones, los
protones, los neutrones, los fotones, los átomos y moléculas de igual composición, etc.
Sea �� = ��1 , … ���� , donde ���� = ���� , ���� , ���� ∈ ���� ; ���� = −��, … , �� y sea Ψ X, t = X Ψ(t) la
función de onda de un sistema de N partículas idénticas cuyo hamiltoniano es �� :
�� = ��0 + �� (2.1)
Donde:
��0 =

��
�� =1 ��1

���� , ���� , ����(2.2)

Es la suma de las energías cinéticas y las energías potenciales de interacción con los campos
externos de cada partícula por separado, mientras que �� es la energía potencial de
interacción de las N partículas entre sí. Si la interacción ocurre sólo por pares:
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�� = 2

��
�� ≠��

�� ���� , ���� ; ���� , ���� (2.3)

Sea Pij el operador que permuta las coordenadas, momenta yespines de las partículas i y j.
De (2.1)- (2.3) resulta evidente que:
Pij �� = �� Pij ∀ i, j= 1,…, N. (2.4)
El principio cuántico de indistinguibilidad de las partículas idénticas establece que Ψ X, t y
Pij Ψ X, t describen el mismo estado cuántico. Las propiedades ondulatorias de los sistemas
cuánticos no permiten distinguir entre dos estados que se diferencien en el cambio de una
partículapor otra idéntica. Entonces:
Pij Ψ X, t =ei λ Ψ X, t (2.5)
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Pero como Pij Ψ X, t = Ψ X, t , resulta que e2i λ =1 y ei λ = ±1, de donde:
Ψ X, t = ± Ψ X, t (2.6)

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La función de onda del sistema debe ser simétrica o antisimétrica respecto a lapermutación
de dos partículas idénticas. Esta propiedad se cumple en cualquier representación. En efecto:
Pij p Ψ(t) = Pij

dX p X X Ψ(t) = dX Pij p Pij X Pij X Ψ(t) =± dX p X X Ψ(t) =
± p Ψ(t) (2.7)

De modo que puede escribirse como:
Pij |Ψ(t) = ±|Ψ(t) . (2.8)
Es fácil demostrar que el operador de evolución U t, t 0 , dado por (1.31), conmuta con el
operador de permutación Pij . Entonces,si la función de onda Ψ X, t 0

es simétrica

(antisimétrica) en cierto instante t 0 , también lo será en cualquier otro instante t ya que:
Pij |Ψ t

= Pij U t, t 0 |Ψ(t 0 ) = U t, t 0 Pij |Ψ(t 0 )

También resulta evidente que la función de onda tiene la misma simetría en los cuadros de
Schrödinger, Heisenberg y de interacción.
En consecuencia, el carácter simétrico o antisimétrico dela función de onda ante la
permutación de partículas es una propiedad intrínseca de los sistemas de partículas
idénticas, que no depende del tiempo, ni de la representación o el cuadro utilizado para
describir los estados del sistema.
En la Mecánica Cuántica no relativista, se considera un resultado de la experiencia el hecho
de que son siempre antisimétricas las funciones de onda de lossistemas formados por
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partículas idénticas de espín semientero (S= 2 , 2 , etc), a las que se denomina fermiones.
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Ejemplos de fermiones son los electrones, protones y neutrones, que tienen S= 2 , así como
cualquier átomo, molécula, ión o núcleo atómico compuesto por un número impar de
electrones, protones y neutrones. De igual forma, son simétricas las funciones de onda de
lossistemas formados por partículas de espín nulo ó entero, denominadas bosones, tales
como el fotón y cualquier átomo, molécula, ión o núcleo atómico compuesto por un número
par de electrones, protones y neutrones. En la materia condensada, las excitaciones
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