Seniales

Trabajo de Se˜ales y Sistemas n
Escuela Politcnica del Ejrcito

´ Alumno: Edison Avila Cristian Fiallos Julio Moya

3.1 Cada una de las se˜ ales de la figura P3.1 se genera a partir de la suma n de sinusoidales. Encuentre las frecuencias y amplitudes de las sinusoidales, dibuje el espectro de linea (solo amplitud) para cada se˜ al. n n Gr´fica 1:Obtenemos los periodos de las se˜ ales, elperiodo 1 se obtiene desde a el final de la primera parte (0-1)hasta el inicio de la siguiente parte (1-3) : T1 = 0,66 sec T2 = 2 sec porlotanto porlotanto w1 =
2π 2 2π 0,66

≈ 3π
rad sec

rad sec

w2 =

=π

NOTA:La figura presenta 3 ciclos de alta frecuencia y uno de baja frecuencia Por lo tanto al final obtenemos que la funci´n es la siguiente: o x(t) ≈ 7 cos(3πt) + 2cos(πt) 2 Gr´fica delespectro a

En base a la respuesta x(t) que se obtuvo se realiz´ la siguiente gr´fica que se puede o a constatar que es igual a la que se dio como dato para este resoluci´n: o

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Gr´fica 2:Obtenemos los periodos de las se˜ ales, el periodo 1 se obtiene a n desde el final de laprimera parte (0.2-0.4)hasta el inicio de la siguiente parte (0.4-0.5) : T1 = 0,2 sec T2 = 0,04 sec x(t) ≈ porlotanto porlotanto + w1 =
2π 0,2

≈ 10π =π

rad sec rad sec

w2 =

2π 0,04

7,5 cos(10πt) 2

2,5 cos(50πt) 2

x(t) ≈ 3,75cos(10πt) + 1,25cos(50πt) NOTA:Por cada ciclo de baja frecuencia hya ciclos de alta frecuencia Gr´fica del espectro a

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En base a la respuesta x(t) que se obtuvo se realiz´ la siguiente gr´fica que se puede o a constatar que es igual a la que se dio como dato para este resoluci´n: o

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3.2 Usandonotaci´n compleja, combine las expresiones para formar un o solo sinusoide para cada uno de los casos. a) 2cos(3t) − cos(3t − π ) 4
π

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

x(t) = 2Re{ej3t )} + (−1)Re{ej(3t− 4 ) } x(t) = Re{2ej3t − e
j(− π ) 4 j(3t− π ) 4
π

}

x(t) = Re{ej3t [2 − ej(− 4 ) ]} 2−e 2−e = A3 ejθ
j(− π ) 4

2 − ej(− 4 )

π

= A3 cos(ωt + θ) π π = 2cos(0) − 2jsen(0) +(−1)cos( ) − (−1)jsen( ) 4 4 √ √ π 2 2 2 − ej(− 4 ) = 2 − + j 2 2 √ √ 2 2 2 2 A3 = (2 − ) +( ) 2 2 A3 = 1,4736258
√ 2 2 √

(9) (10)

θ = tg (

−1

2−

2 2

)

(11) (12) (13) (14) (15)

θ = 0,5o ⇒ A3 ejθ = 1,4736258 ej(0,5) x(t) = 1,4736258 ej(3t+0,5) x(t) = 1,4736258 cos(3t + 0,5)

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Figura 1: Gr´fica de la funci´n original + su a o c´digo de matlab o

Figura 2: Gr´fica de la funci´n en notacin a o compleja + su c´digo de matlab o

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b)

cos(t) − sen(t)

(16)

En este caso para realizar la notaci´n compleja del ejerciciotransformamos el seno en su o equivalente coseno π sen(t) = cos( − t) (17) 2 Tambi´n podemos utilizar una equivalencia cambiando el signo en el argumento del coseno e ya que como sabemos el coseno es una funci´n par y esto no afectar´ en nada el desarrollo o ıa del proceso, por lo tanto utilizaremos esta equivalencia: sen(t) = cos(t − π ) 2 Por lo tanto al reemplazar esta equivalencia tenemos losiguiente: x(t) = cos(t) − cos(t − π ) 2 Ahora desarrollamos el ejercicio: x(t) = Re{ejt )} + (−1)Re{ej(t− 2 ) } x(t) = Re{ejt − ej(t− 2 ) } x(t) = Re{ejt [1 − e 1−e 1−e
j(− π ) 2 j(− π ) 2 j(− π ) 2
π π

(18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31)

]}

= A3 ejθ

1 − ej(− 2 )

π

= A3 cos(ωt + θ) π π = 1cos(0) − jsen(0) + (−1)cos( ) − (−1)jsen( ) 2 2 1 − ej(−...