Senyales v3

MATEMÁTICAS DE LAS SEÑALES
Eugenio Hernández
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma de Madrid

Una señal es cualquier magnitud que podamos medir de alguna forma y que
contiene información sobre el comportamiento o la naturaleza de algún fenómeno. Las
señales están presentes en nuestra vida diaria; por ejemplo, sirven para controlar nuestra
salud (electrocardiogramas, ecografías,fotografías de rayos X), mostrar la tendencia del
índice de precios, estudiar el comportamiento de huracanes u otros fenómenos
relacionados con el tiempo atmosférico, detectar bolsas de petróleo en el interior de la
Tierra, almacenar y recuperar información sobre los accidentes geográficos de una
región, comunicarnos con otras personas a través del teléfono o vía Internet y presenciar
acontecimientos quese producen a miles de kilómetros del lugar en que nos
encontramos a través de la televisión. Basten estos ejemplos como muestra de la
ubiquidad de las señales al comienzo del siglo XXI.

Desde el punto de vista matemático una señal es una función de una o varias
variables cuyo dominio de definición puede ser un continuo o una cantidad finita de
puntos. La forma de una señal sonora o de unaproducida por un electrocardiograma
cambia con el paso del tiempo, de manera que su amplitud es una función de una sola
variable, es decir una señal unidimensional. Una imagen fija es, por el contrario, una
señal bidimensional porque está definida sobre un entramado de dos dimensiones. Si
nos fijamos en una imagen en movimiento, por ejemplo, un video, además de las dos
dimensiones de cada fotograma hayque añadir el movimiento en el tiempo, lo que hace
que estas señales sean tridimensionales.

Figura 1. Señal procedente de
un electrocardiograma.

Figura 2. Señal de un huracán tomada
desde un satélite.
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1. Señales unidimensionales periódicas. Series de Fourier.
Las señales unidimensionales periódicas más simples definidas sobre un
continuo son las sinusoides, s(t )  a cos(2t ) o
s(t )  asin( 2t ) , que se representan con una onda

de amplitud a y cuya frecuencia es  ; esta
magnitud indica el número de oscilaciones de una
señal en una unidad de tiempo. El tiempo y las
frecuencias de una señal unidimensional son

Figura 3

variables independientes que juegan un papel destacado en su tratamiento. Cuando la
frecuencia no depende del tiempo se dice que la señal es estacionaria.Estas sinusoides
tienen, además, la particularidad de que son periódicas de periodo T  1 /  , porque su
gráfica se repite cada T unidades de tiempo.

En 1812 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) publicó un tratado titulado
Teoría analítica del calor, en el que asegura que toda señal periódica de periodo T, es
decir que satisface f (t )  f (t  T ) , puede representarse como una suma infinitade
señales estacionarias elementales de la forma

Si bien la fórmula es correcta en cierto sentido, ha requerido un gran esfuerzo de
destacadas figuras de la matemática de los siglos XIX y XX poder distinguir en qué
sentido la representación dada en (1) es cierta. Esta representación es correcta en el
sentido de la convergencia en el espacio
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L (0, T ) de las señales de energía finita. En

Figura4. Aproximación
mediante series de Fourier

cuanto a la representación punto a punto o
en casi todo punto, la formula (1) ha
inspirado brillantes desarrollos matemáticos
que culminaron con el trabajo de Lennart
Carleson sobre la convergencia puntual de
la serie (1) para las funciones del espacio de energía finita en la década 1950-60. Por su

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contribución en este campo y en el de los sistemasdinámicos, Lennart Carleson ha
recibido en 2006 el premio Abel que concede la Academia Noruega de Ciencias y
Letras.

En (1) la función periódica f(t) se representa mediante infinitas señales
sinusoidales de frecuencias 0 y k/T, k=1,2,3, .... con amplitudes ak y bk. Considerar una
señal desde el punto de vista de sus
componentes frecuenciales ha sido un
artilugio usado por físicos, ingenieros...