Serie aritemetica

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Serie matemática
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de unnúmero finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitostérminos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas delanálisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.
Sucesión es unasecuencia ordenada de números u otras cantidades, y serie es la suma de todos los términos de dicha secuencia.
Una sucesión se representa como a1, a2 …, an … Las a son números o cantidades, distintas entre sí o no; a1 es el primer término, a2el segundo, y así sucesivamente. Si el último término aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparece es infinita. Una sucesión es definidao establecida si y sólo si existe una regla dada que determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los números enteros positivos, en su orden natural, forman una secuencia infinita definida por la fórmula an=n. La fórmula an = n2 define la sucesión 1, 4, 9, 16 … La regla de empezar con 0 y 1y calcular cada término como la suma de los dos términos anteriores define la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …; que se conoce como sucesión de Fibonacci.
Entre los tipos más importantes de sucesiones se encuentran las sucesiones aritméticas (también conocidas como progresiones aritméticas), en las que la diferencia entre dos términos sucesivos es constante; y las sucesiones geométricas(también conocidas como progresiones geométricas), en las que la razón entre dos términos sucesivos es constante. Un ejemplo de sucesiones se encuentra al intentar calcular los intereses de un cierto capital. Si el dinero se invierte al interés simple del 8%, entonces en n años la cantidad de dinero inicial P se ha convertido en an = P + n × (0,08)P. El mismo producto (0,08)P se añade cada año, por loque las cantidades an forman una progresión aritmética. Si el interés es compuesto, las cantidades ahorradas forman una progresión geométrica, gn = P × (0,08)n. En ambos casos, está claro que an y gn llegarán a ser mayores que cualquier número entero imaginable.
Sin embargo, los términos de una sucesión no tienen por qué crecer siempre. Por ejemplo, a medida que n crece, la sucesión an = 1/n seacerca a 0, que es su límite; y bn = A + B/n tiende hacia A. En este tipo de sucesiones, existe un número finito L tal que, dada una tolerancia e,los valores de la sucesión difieren de L en una cantidad menor que e cuando n es lo suficientemente grande. Por ejemplo, en el caso de la sucesión 2 + (-1)n/2n, el límite es L = 2. Incluso si se toma una e tan pequeña como 1/10.000, se puede comprobar quepara n mayores que 5.000 la diferencia entre an y L es menor que e. El número L se denomina límite de la sucesión, y aunque algunos de los términos de la sucesión son mayores y otros menores que L, los términos finalmente se agrupan alrededor de L cada vez más cerca. Cuando una sucesión tiene un límite L, se dice que converge hacia L. Para la sucesión an, por ejemplo, esto se escribe como...
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