Serie

SERIES

En la aritmética elemental se define la suma como una operación con un número finito de términos. Por lo tanto el símbolo: [pic] carece de sentido.
Definición: [pic] es una sucesión, consideremos la nueva sucesión: [pic]/
[pic]
[pic]
[pic]
………………….
[pic]
Esta nueva sucesión se llama serie de término general [pic] y reducida de orden n de la serie a [pic].

Clasificación:
Si[pic]( [pic] ( R ( la serie es convergente.
Si [pic]( [pic] o [pic]( [pic]( la serie es propiamente divergente.
Si [pic]( [pic]( la serie es impropiamente divergente.
Si [pic] oscila ( la serie es oscilante.

Serie Geométrica.
Definición: Una sucesión de la forma: [pic]; se llama geométrica de razón [pic].
Teorema: Sea:[pic]([pic]=[pic]= [pic]
Demostración:
[pic]=[pic]( [pic]=[pic]([pic]-[pic]= [pic]( [pic]=[pic]( [pic]=[pic]
Definición: Llamaremos serie geométrica a [pic]=[pic]
Teorema: Sea: [pic]=[pic]([pic]
Demostración:
Si [pic]( [pic] = [pic]= [pic]= [pic], pues [pic]( converge.
Si [pic]( [pic]= [pic]= ( , pues [pic]( diverge.
Si [pic] ( [pic]= [pic] = [pic]= + (
Si [pic] ( [pic]=[pic]= [pic][pic]oscila.

Serie Telescópica.
Definición: Se llama serie telescópica ala serie cuyo término general es [pic].
Resulta entonces: [pic]=[pic]=
[pic]
Teorema:
Si [pic]( [pic] ( R ( la serie es convergente.
Si [pic]( [pic]( la serie es impropiamente divergente.
Demostración:
Si [pic]( [pic]( [pic]= [pic]= [pic]( converge.
Si [pic]( [pic]([pic]= [pic]= [pic]= [pic]( diverge.

Serie Armónica.
Definición: Llamaremos serie armónica a [pic]=[pic], dónde cadatérmino es media armónica de sus dos adyacentes.
Teorema: [pic] es divergente.
Demostración: Sea
Sn= [pic] = [pic] > [pic] =
[pic] = [pic] y como [pic]( lím Sn= +( ([pic] diverge.
Teorema: [pic]([pic]
Demostración:
Sea Sn= [pic] = [pic] ( [pic]= [pic] = [pic]que es geométrica de razón [pic]
si [pic] 1 ( [pic] converge ( p > 1.
si [pic]>1 ( p < 1 ( [pic] diverge ( p < 1.
Propiedades Generalesde las series.
Teorema: Si [pic]=[pic]es convergente ([pic]=[pic]es convergente.
Demostración: Si [pic] ( [pic].
Corolario: Si [pic]=[pic]es divergente y k ( 0 ([pic]=[pic]es divergente.
Teorema: Si [pic]=[pic]es convergente y [pic]=[pic]es convergente ([pic]=[pic]es convergente.
Demostración: Pues si [pic]y [pic]( [pic]
Teorema: Si [pic]=[pic] es convergente y [pic]=[pic] es convergente ([pic] = [pic] es convergente.
Demostración: Es consecuencia de los 2 teoremas anteriores.
Teorema: Si [pic]=[pic]es convergente y [pic]=[pic]es divergente ([pic]=[pic]es divergente.
Demostración: Pues si [pic]y [pic]( [pic].
Nada puede asegurarse si ambas son divergentes.
Teorema: Sea [pic]=[pic], formemos [pic]=[pic]([pic] y [pic] son de la misma clase, ambas convergentes, divergentes uoscilantes.
Demostración: Si [pic] y [pic]( [pic] ( [pic].
Análogamente si [pic]o [pic] oscila.
Teorema: Si [pic]=[pic]es convergente o divergente, no oscila ( al sustituir un número finito de términos por su suma, el carácter de la serie no altera.
Demostración: Si [pic] y [pic] ( [pic], [pic],[pic],…..,[pic]([pic]es subsucesión de [pic] y tienen su mismo límite.
Observemos que para seriesoscilantes el teorema no se cumple:
Sn = [pic]( [pic] oscila.
Mientras: S’n= 0 + 0 + 0 + 0 + …… converge.
Criterio general de convergencia.
Teorema: Si [pic]=[pic]es convergente ([pic]( 0.
Demostración: Supongamos que[pic]( (.
Como [pic] y [pic]es subsucesión de [pic]( [pic]( ( ([pic]
Teorema: Si [pic]( [pic] ( 0 ( [pic]=[pic]no es convergente
Demostración: Pués si: [pic]( ( ([pic]( 0, loque contradice la hipótesis.
Series de términos positivos.
Teorema: Toda serie de términos positivos es convergente o divergente a + (.
Demostración: La sucesión de reducidas [pic] es monótona creciente, pues [pic].
(Por el teorema de Weierstrass existen dos posibilidades.
Si [pic]( [pic] finito ( [pic]converge.
Si [pic]( [pic] ( [pic]diverge.
Criterios de Comparación.
Teorema: Si...