Serie De Potencias

SERIES DE POTENCIA
Definición: Una serie de potencias en torno al punto es una expresión de la forma , donde es una variable y los coeficientes son constantes. Se dice que la serie de potenciasconverge en el punto si la serie infinita (de números reales) converge; i.e, el límite de las sumas parciales, existe. Si el límite no existe, se dice que la serie de potencias diverge en . Nóteseque la serie de potencias converge en ya que .
Teorema: Para cada serie de potencias de la forma , existe un número , llamado radio de convergencia de la serie de potencias, tal que la serieconverge absolutamente para y diverge para . Si la serie converge para todo valor real , entonces . Si la serie converge solamente en , entonces

Observación: El teorema resuelve la cuestión de laconvergencia excepto en los extremos . De manera que estos dos puntos requieren un análisis separado. Para determinar el radio de convergencia , un método que resulta fácil de aplicar es el criterio delcociente.

Teorema: Si , donde , entonces el radio de convergencia de la serie de potencias es , con sí y si .
Observación: Si el límite del cociente no existe, entonces se deben aplicarotros métodos distintos del criterio del cociente para determinar a .
Teorema: Si la serie de potencias tiene un radio de convergencia positivo, entonces la diferenciación término a término da lugar ala serie de potencias de la derivada de como: para , y la integración término a término de la serie de potencias de la integral de como para .
Definición: Se dice que una función es analítica en, si es derivable en , o si, en un intervalo abierto en torno a , esta función es la suma de una serie de potencias que tiene un radio de convergencia positivo.
Teorema: Si es analítica en ,entonces la representación

es válida en cierto intervalo abierto con centro en . La serie se llama serie de Taylor de en torno a . Cuando , se le conoce como la serie de Maclaurin de .
Definición:...