series de potencia

Anexo C

Introducci´n a las series de potencias
o
Este ap´ndice tiene como objetivo repasar los conceptos relativos a las series de potencias
e
y al desarrollo de una funci´n ne serie de potencias en torno a un punto.
o

C.1.

Series de potencias

Una serie de potencias en torno al punto x0 es una expresi´n de la forma
o
∞

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · ··

(C.1)

n=0

donde x es una variable y los coeficientes an son constantes. Se dice que (C.1) converge en
∞
el punto x = r si la serie infinita (de n´meros reales)
u
an (r − x0 )n converge; esto es, el
n=0
l´
ımite de las sumas parciales,
N

an (r − x0 )n ,

l´
ım

N →∞

n=0

existe (como n´mero finito). Si este l´
u
ımite no existe, se dice que la serie de potenciasdiverge
en x = r. Obs´rvese que (C.1) converge en x = x0 ya que
e
∞

an (x0 − x0 )n = a0 + 0 + 0 + · · ·
n=0

Pero, ¿qu´ se puede decir acerca de la convergencia para otros valores de x?. Como se
e
establece en el Teorema C.1 de m´s abajo, una serie de potencias de la forma (C.1) converge
a
217

218

Introducci´n a las Series de Potencias
o

para todo el valor de x perteneciente acierto “intervalo” con centro en x0 , y diverge para
los valores de x que est´n fuera de este intervalo. Adem´s, en los puntos interiores de dicho
e
a
∞

intervalo, se dice que la serie de potencias converge absolutamente si

|an (x − x0 )n |

n=0

converge. (Recu´rdese que la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia
e
(ordinaria) de la serie.)
Teorema C.1 (Radio deconvergencia).- Para cada serie de potencias de la forma (C.1),
existe un n´mero ρ (0 ≤ ρ ≤ ∞), llamado radio de convergencia de la serie de potencias,
u
tal que (C.1) converge absolutamente para |x − x0 | < ρ y diverge para |x − x0 | > ρ. (V´ase
e
la figura C.1.)
Si la serie (C.1) converge para todo valor real de x, entonces ρ = ∞. Si la serie (C.1)
converge solamente en x0 , entonces ρ =0.

Divergencia

?

Convergencia
absoluta

x 0+ρ

x0

? Divergencia
x 0+ρ

Figura C.1: Intervalo de convergencia
Obs´rvese que el Teorema C.1 resuelve la cuesti´n de la convergencia de las series de
e
o
potencias en todos los puntos de la recta real excepto en los extremos x0 = ±ρ del intervalo
de convergencia. Estos dos puntos requieren un an´lisis independiente. Paradeterminar el
a
radio de convergencia ρ, un m´todo que a menudo resulta f´cil de aplicar es el criterio del
e
a
cociente.
Teorema C.2 (Criterio del cociente).- Si
l´
ım

n→∞

an+1
= L,
an

donde 0 ≤ L ≤ ∞, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias
1
es ρ = , con ρ = ∞ si L = 0 y ρ = 0 si L = ∞.
L

∞
n=0

an (x−x)n

Observaci´n Se debe observar que si el l´
oımite del cociente |an+1 /an | no existe, entonces
se deben emplear otros m´todos distintos del criterio del cociente para determinar ρ. Por
e
ejemplo, el criterio de la ra´
ız:

C.1 Series de potencias

219

Teorema C.3 (Criterio de la ra´z).- Si
ı
l´
ım

n

n→∞

|an | = L,

donde 0 ≤ L ≤ ∞, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias

∞

an (x − x)n

n=01
es ρ = , con ρ = ∞ si L = 0 y ρ = 0 si L = ∞.
L
Ejemplo C.4 Determ´
ınese el intervalo de la convergencia de
∞

(−2)n
(x − 3)n .
n+1
n=0
Soluci´n.- Puesto que an =
o

(C.2)

(−2)n
, se tiene
n+1

l´
ım

n→∞

an+1
an

=

=

l´
ım

n→∞

l´
ım

n→∞

(−2)n+1 (n + 1)
(−2)n (n + 2)

2(n + 1)
= 2 = L.
(n + 2)

1
Por el criterio del cociente, el radiode convergencia es ρ = . Por lo tanto, la serie (C.2) con2
1
1
verge absolutamente para |x − 3| < , y diverge cuando |x − 3| > . S´lo queda determinar
o
2
2
5
7
lo que sucede cuando |x − 3| = 1/2. Esto es, cuando x = ´ x = .
o
2
2
∞
1
5
, la serie (C.2) se convierte en la serie arm´nica
o
, la cual es
2
n=0 n + 1
∞ (−1)n
7
divergente. Si x = , la serie (C.2) se convierte...