Serie De Taylor

Serie de Taylor

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

La serie de Taylor proporciona una buenaforma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
También, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantasexpresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas.

Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma soluciónque proporciona la solución en series de potencias (o de coeficientes indeterminados). Esto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá entonces que lasolución dada por los polinomios de Taylor también entregará dicha so-lución en forma cerrada.

Métodos de Taylor de orden superior

Sea el problema de valor inicial

y′ = f(x, y) y(x0) = y0(2.1)

Supongamos que tiene solución única φ(x) en un algún intervalo con centro en x0. Sea
h > 0 y consideremos puntos igualmente espaciados

xn = x0 + nh n = 0, 1, 2, ...

Consideremos que lasolución φ(x) tiene n + 1 derivadas continuas. Si se desarrolla la solución φ(x) en función del enésimo polinomio de Taylor alrededor de xn y calculamos en xn+1 obtendremos:

φ(xn+1) = φ(xn) +hφ′(xn) + h2/2φ′′(xn) + ・ ・ ・ hn /n!φ(n)(xn) +hn+1/ (n + 1)!φ(n+1) (ǫn). para algún (ǫn) ∈< xn, xn+1 >

La derivada sucesiva de la solución φ(x) nos da

φ′(x) = f(x, φ(x))
φ′′(x) = f′(x, φ(x))

Engeneral
φ(k) (x) = f(k−1) (x, φ(x))

Al sustituir este resultado en la ecuación, tenemos

φ(xn+1) = φ(xn) + hf(xn, φ(xn)) + h2/2f′(xn, φ(xn))+ ・ ・ ・
hn /n! f(n−1) (xn, φ(xn)) + hn+1/(n + 1)!...