Serie fibonacci

Historia
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) erafn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.[1]
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidosparir también".[2]
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenidopopularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
[editar] Definición formal
Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones
(1)
(2)
(3) para
Esto produce los números
*
**
*
*
*
*
*
*
y así sucesivamente de manera infinita.
[editar] Representaciones alternativas
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
[editar] Función generadora
Una función generadora para una sucesión cualquiera es la función , es decir, una serie depotencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
(4)
Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

[editar] Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcularun término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales
y
El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t2 − t − 1 = 0, y sus raíces son

De esta manera, la fórmula explícita de lasucesión de Fibonacci tendrá la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
(5)
Para simplificar aún más es necesarioconsiderar el número áureo

de manera que la ecuación (5) se reduce a
(6)
Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional . De hecho, la relación con este número es estrecha.
Forma matricial
Otra manera de obtener lasucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

Conociendo a f0 = 0 y f1 = 1, al aplicar la fórmula anterior n veces se obtiene
(7)
Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la...