Serie unam analitica








Universidad Nacional Autónoma de México


Facultad de Ingeniería


Geometría Analítica

Profesor: Rangel Ordoñez Francisco Armando

Alumnos:

Álvarez Romero Sergio
Rodrigo Herrada Salas Yakir Rasiel
Cueto Jiménez Fernando


Serie “La recta y el Plano”



1. Sea L la recta cuyas ecuaciones son:
L

Calcular:

a) La distancia del origen de coordenadas, a la recta L.

Sea P0 (0,3,1) y= = =



b) La distancia entre la recta L y el eje de las cotas.

Debido a que la distancia del Eje Y al origen es 4 unidades longitudinales en el punto (0, 3, 1) la distancia de este dicho punto al eje z es 3 unidades longitudinales, puesto que es la distancia del punto (0, 3, 1) al punto 0, 0, 1)

c) Los ángulos α, β, γ que forma la recta L con los ejes coordenados X, Y y Z,respectivamente.
α = 0º, debido a que el punto estudiado no tiene proyección en el Eje X
β = 90º
= 90º

2. Sean L1y L2 las rectas cuyas ecuaciones son:

L1: x-1;

L2:


Si dichas rectas son perpendiculares entre sí, y además se intersecan, determinar los valores de “a” y “b”.
L L


.
a = -1
L L





b = 1

3. Sean las rectas L y R definidas de la siguiente manera:

L: contiene al origen, estácontenida en el plano YZ, y forma un ángulo de 60° con el eje Y.
R: es paralela al eje Z y corta al eje X en el punto P de coordenadas (2, 0, 0).

a) Determinar unas ecuaciones paramétricas de las rectas L y R.



R: (2, 0, 0) + R

L

b) Indicar si las rectas L y R definen un ángulo entre sí. En caso afirmativo, calcularlo; en caso contrario, justificar su respuesta.
Cos= Cos=
= 30º
4. Sean lasrectas cuyas ecuaciones son:
L1:

L2:

a) Determinar si L1 y L2 son paralelas, si se cruzan o si se cortan.

L L




d= = = (0, 0, 0) intersección


b) En caso de que L1 y L2 se corten, determinar el punto de intersección; en caso de que se crucen o sean paralelas, calcular la distancia entre ellas.

0=0
1-t=1+2z
t = 0
z = 0
L L

Punto de intersección (1, 0, 1).




9. Obtener una ecuacionvectorial de una recta L que contiene al punto
A(-2,-4,1) es paralela al plano XZ y forma con el plano π: 4-2z=0 un ángulo de 60°
=(0,1,0) π: 4-2z=0
Z=
Senθ=
Sen60°= Z=2
=
[(+)) ()=Zo =(-2,-4,1)- (x,y,z)
()(3/4)= =(-2-x,-4-y,-1)
Xo=±= () ; =()
() ; ()
=(-2,-4,1) + t()
=(-2+ 1/t,-4,1-t)






13. Sea la viga AB que tiene por extremos a los puntos A(1, 2, 3) y B(7, 6, 5). Si desde el punto C (4, 5, 10) cae en forma vertical un objeto, determinar si éste golpea a la viga. En caso afirmativo, determinar el punto de contacto; en caso contrario, calcular a qué distancia de la viga pasará elobjeto.
Nota: despreciar el ancho de la viga y el del objeto.

Si se hace una proyección en los ejes XY se puede constatar como el dibujo anterior demuestra que el punto C no se intersecta con la línea AB por lo que el objeto no golpea a la viga

= (6, 4, 2) por lo tanto una dirección de es = (3, 2, 1), el punto es (4, 5, 10) y un punto de la recta es = (4, 4, 4)

d = = =



16. Sean lasrectas:

L1: y L2:

a) Calcular el ángulo que forman L1 y L2

y (2, -1, 3)

= =

0

b) Determinar la distancia entre L1 y L2

= (-1, 0, -2) y

d = =

d =0 puesto que son las mismas rectas





24. Determinar la ecuación cartesiana del plano π que es perpendicular al plano π1 cuya ecuación es Y=0 y que contiene a la recta R con ecuaciones
x+2y-z=1
x-z=2
si x=0
2y-z-1 z=-2-z-2
2y+1=0
Y=- Po(0,--2)
= (0,1,0) = (1,2,-1) = x = (-2,0,-2)
= (1,0,-1)
= x = (-2,0,2)
Π: -2x+2z+D=0
Sustituyendo Po en π
2(-2) + D=0 D=4
Π: -2x+2z+4=0 : -x+z+2=0
25. Sea el plano π cuya ecuacion es 3x-6y+z+6= 0 y sea la recta L que tiene por ecuaciones:
L: x-3= y-3=
Determinar, si existe, la interseccion entre la recta y el plano.
X= 3+ t(1)...