Serie analitica

DEPARTAMENTO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

SERIE No

“ 2”

2011-1

“ÁLGEBRA VECTORIAL” 1.-Sea C(2, -3, 5) el punto medio del segmento dirigido AB . Empleando álgebra vectorial, determinar las coordenadas de los puntos A y B, si las componentes escalares de AB sobre los ejes coordenados X, Y y Z son 4, -8 y 2 respectivamente. 2.-Sea el punto P que está contenido en el plano YZ, está a dosunidades de distancia del origen de coordenadas, de ordenada negativa y cuyo vector de posición forma un ángulo de 30º con el eje Z; y sea el punto Q(4, 8, 2 3 ). Empleando álgebra vectorial, calcular la distancia entre los puntos P y Q. 3.-Sean los vectores u y v , tales que u = 15 y v = 5. Si el vector u tiene la misma dirección que el vector a = 3i + 4j y si el vector v tiene la misma dirección queel vector c = (-8, 0, 6), empleando álgebra vectorial: a) calcular el ángulo que forman los vectores u y v ; b) obtener el módulo del vector u + v (sugerencia: utilizar la ley de los cosenos). c) determinar las componentes del vector u + v .

4. Sean los vectores u , v y w que se muestran en la siguiente figura:

Determinar: a) La componente escalar de u en la dirección de w . b) La componentevectorial de u en la dirección de w . c) La componente escalar de u en la dirección de v . d) La componente vectorial de v en la dirección de u . Si el valor absoluto de la componente escalar de w en la dirección de u = 2 , determinar: e) Las componentes del vector w . f) Las coordenadas del punto E. 5. Para los vectores u , v y w que se muestran en las siguientes figuras, expresar w en términosde u y v .

6.- Sea el triángulo cuyo vértices son los puntos A( -1, 2 , 0), B(5, -1 , 3) y C(4,0,-2). Determinar un vector unitario que sea simultáneamente perpendicular a los lados de dicho triángulo. 7.- Sean los vectores u y v tales que u = 3 y v = 4 y que forman un ángulo θ =

2π radianes. 3 a) Calcular u ⋅ v b) Haciendo uso de algunas propiedades del producto escalar calcular

u+v2

8.- Sean los vectores u y v tales que: El vector u forma ángulos de 60° y 45° con los ejes X y Y, respectivamente. El vector v forma ángulos de 30° y 60° con los ejes Y y Z, respectivamente. Calcular el ángulo que forman los vectores u y v (hay dos soluciones). 9.- Sea el punto B que está contenido en el plano XZ. Si su vector de posición b tiene módulo igual a 8 y forma 45° con los vectoresunitarios i y k, determinar: a) las coordenadas cartesianas del punto B, b) los cosenos directores del vector b , y c) la componente vectorial del vector b en la dirección del vector unitario k. 10. Sean los vectores:

u = 3i - 2j + 5k v = (2, 1, 0) w = (-2, 5, 4)

Determinar: a) Un vector x tal que: 4 u − 3 v + 2 x = w b) Un vector a , perpendicular a v y a v , cuyo módulo sea 4 14 11. Seael punto A que pertenece al eje de las ordenadas, y cuya distancia al origen es igual a 6; y sea el punto B contenido en el plano XZ, cuyo vector de posición forma un ángulo de 60° con el eje de las abscisas y de módulo igual a 10. Empleando álgebra vectorial, calcular la distancia entre los puntos A y B. 12. En las instalaciones de un centro deportivo se desea construir una alberca cuya área seade 160 m2 . Si el proyecto arquitectónico exige que los lados de la alberca sean paralelos a los lados del terreno, con los datos que se dan a continuación y con ayuda de la figura, determinar vectorialmente las coordenadas de los puntos G y H. A(0, 0, 3), B(0, 22, 3), C(30, 22, 3), D(30, 0, 3), E(19, 7, 3), F(3, 7, 3), G(g1, g2, g3), y H(h1, h2, h3).

Hay 2 posibles soluciones. Interpretarlas.13. Sean los vectores:

u = (0, b, c) v = (-2, 1, -3) w = 4i + j -2k Determinar los valores de b y c tales que la componente escalar de u en la dirección de v sea igual a √ 14 y la de u en la dirección de w sea igual a 21 .

14. Sean los puntos A(3, 1, 2), B(7, 1, 10), C(1, 4, 3), utilizando álgebra vectorial: a) comprobar que forman un triángulo rectángulo. b) calcular el área de dicho...