series


INSTITUTO TECNOLOGICO DE ZACATAPEC






CALCULO INTEGRAL

ALUMNOS:
CARPIO PINEDA JOSE FRANCISCO
CHAVEZ OLIVEROS ANDREI
ORTIZ AYALA GUSTAVO

UNIDAD IV:
SERIES



4.1 DEFINICION DE SERIE.
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos  como:

Donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i tomael valor de absolutamente todos los números naturales, es decir:


Las series convergen o divergen. En cálculo, una   serie diverge si   


 no existe o si tiende a infinito; puede converger si 


4.1.1 FINITA.
Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) 
y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, lasecuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.
 La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.


4.1.2 INFINITA.
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.
Sonseries de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.
Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series queconvergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

Teorema: Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô.
4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA, PRUEBA DE LA RAZON (CRITERIO DE D’ALEMBERT) Y PREUBA DE LA RAIZ (CRITERIO DECAUCHY).

Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Unasecuencia es una discreta función.

---- Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).
Si existe
con  , el Criterio de D'Alembert establece que:
§    si L < 1, la serie converge.
§    si L > 1, entonces la serie diverge.
§    si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probarotro criterio, como el criterio de Raabe.

---- Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo 
Entonces, si:
§      L < 1, la serie es convergente.
§      L > 1 entonces la serie es divergente.
§      L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, paraver si podemos llegar a alguna conclusión.

4.3 SERIE DE POTENCIAS.

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:


Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:



4.4 RADIO DE CONVERGENCIA.

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma , con , viene dado por la expresión:

Si noslimitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en . La serieconverge absolutamente para un conjunto de valores de  que verifica que , donde r es un número real radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de  pertenecientes al intervalo  , ya que la convergencia para los extremos de este...