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FUNCIONES ORTOGONALES

En el curso de Geometría Analítica y Algebra se ha visto que 2 vectores distintos de cero
son ortogonales cuando su producto interno (punto) es cero. Más allá del cálculo (del curso
de Geometría Analítica y Algebra), los conceptos de vectores, ortogonalidad y producto
interno con frecuencia pierden su interpretación geométrica. Estos conceptos han de
generalizarse yes muy común considerar una función como un vector. Entonces podemos
decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno es cero. En
este trabajo veremos que el producto interno de estos vectores (funciones) es en realidad
una integral definida. El concepto de funciones ortogonales y el desarrollo de una función
f dada en términos de un conjunto de funcionesortogonales es fundamental en el estudio
de las Ecuaciones Diferenciales Parciales.

Saberes Previos
 Los conceptos de vectores generalizados y espacios vectoriales.

Introducción
Los conceptos de vectores geométricos en dos y tres dimensiones, vectores ortogonales o
perpendiculares y el producto interno de dos vectores se han generalizado. Es muy común
en matemáticas considerar una función comoun vector. En este trabajo analizaremos un
producto interno que es diferente del estudiado en cálculo. Utilizando en este nuevo
producto internos, definiremos las funciones ortogonales y los conjuntos de funciones
ortogonales. Además en este trabajo veremos cómo desarrollar una adecuada función f en
términos de un conjunto infinito de funciones ortogonales.

PRODUCTO INTERNO
Recordemosque si u y v son dos vectores en el espacio tridimensional, entonces el
producto interno (u,v) de los vectores tiene las propiedades siguientes:
i) (u,v)  ( v,u) ,
ii) (k u,v)  k (u,v)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------*
Los intervalos también podrían ser (, ), (0, )

iii) (u,u)  0 si u=0 y (u, u)>0 si u 0.
iv) (u+v, w)=(u,w)+(v,w).

Supongamos f1 , f 2 son funciones definidas en un intervalo [a, b] .Puesto que una integral
definida sobre [a, b] del producto f1( x) f 2 ( x) también tiene las propiedades anteriores i) a
iv) siempre y cuando exista la integral, podemos enunciar la siguiente definición:
Definición 1.- (Producto interno de funciones)
El producto interno de funciones f1 y f 2en un intervalo [a, b] es el número
b

( f1, f 2 )   f1( x) f 2 ( x)dx.
a

FUNCIONES ORTOGONALES
A continuación generalizaremos el concepto de ortogonalidad entre dos vectores.
Definición 2.- Dos funciones f1 y f 2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si
b

( f1, f 2 )   f1( x) f 2 ( x)dx  0.

…………………………. (1)

a

Ejemplo 1 Verificar que las funciones f1( x)  x 2 y f 2 (x)  x3 son ortogonales en el
intervalo [1,1] .
Solución
1

( f1, f 2 )   x 2 .x3dx 
1

1

16
x
0
6 1

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2

Ejemplo 2 Demuestre que las funciones f1( x)  e x y f 2 ( x)  sen( x) son ortogonales en el
  5 
intervalo  ,  .
4 4 
Solución
5
4x

x

5
4



e sen( x) e cos ( x)

2
2


4

(e x , sen( x)) 

4

e

x

sen( x) dx 

0
Luego las funciones f1( x)  e x y f 2 ( x)  sen( x) son
  5 
ortogonales en el intervalo  ,  .
4 4 

Ejemplo 3 Verificar que las funciones f1( x)  cos x y f 2 ( x)  sen2 ( x) son ortogonales en
el intervalo [0,  ] .
Solución



(cos( x), sen 2 (x))   cos( x) sen 2 ( x) dx

y  sen2 ( x )

0

sen3 ( x)

3


0

0

A diferencia del análisis vectorial, donde la palabra ortogonal es sinónimo de
perpendicular, en este contexto el término ortogonal y la condición (1) no tiene significado
geométrico.
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